高数课程妥媒血课件 镭货理工大理隙>> 3、可隆阶的高阶微分方程的解 (1)y=∫(x)型 解法接连积分n次,得通解 (2)y"=f(x,y')型 特点)不显含未知函数p 解法令y=P(x),y"=P, 代入原方程,得P'=f(x,P(x) Http://www.heut.edu.cn
解法 令 y = P(x), 不显含未知函数 y. (2) y = f (x, y) (1) ( ) 型 ( ) y f x n = 接连积分n次，得通解． 型 解法 代入原方程, 得 P = f (x,P(x)). y = P , 3、可降阶的高阶微分方程的解法 特点
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (3)y"=∫(y,y)型 特点)不显含自变量x 解法令y=P(x),y"=P 代入原方程,得P =(,P 线性微分方程解的结构 (1)二阶齐次方程解的结构: 形如y"+P(x)y+Q(x)y=0(1 Http://www.heut.edu.cn
令 y = P(x), 不显含自变量x. (3) y = f ( y, y) 型 解法 代入原方程, 得 f ( y,P). dy dp P = , dy dp y = P （1） 二阶齐次方程解的结构: 形如 y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) ４、线性微分方程解的结构 特点
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程1)的两个 解,那末y=C1y+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常 数) 定理2:如果y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性 无关的特解,那么y=C1y1+C22就是方程(1)的通 解 (2)二阶非齐次线性方程的解的结构 形如y+P(x)y+Q(x)y=f(x)(2 Http://www.heut.edu.cn
定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） 定理 2：如果 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1)的通 解. （2）二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定理3设y是(2)的一个特解,Y是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解,那么y=Y+y是二阶 非齐次线性微分方程(2)的通解 定理4设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函 数之和,如y”+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 而y与y2分别是方程, y+P(x)y+e(x)y=f(x) y+P(x)y+o(x)y=f(x) 的特解,那么y1+y2就是原方程的特解 Http://www.heut.edu.cn
定 理 3 设 * y 是(2)的一个特解, Y 是 与(2)对 应 的齐次方程(1)的通解, 那 么 * y = Y + y 是二阶 非齐次线性微分方程(2)的通解. 定 理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y + P x y + Q x y = f x + f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) 1 y + P x y + Q x y = f x ( ) ( ) ( ) 2 y + P x y + Q x y = f x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 5阶常系数齐次线性方程解法 形如y1)+P1y-+…+P1y+Pny=∫(x) n阶常系数线性微分方程 py+y=0 阶常系数齐次线性方程 y"+py+qy=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法 Http://www.heut.edu.cn
( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + − + = 形如 − n阶常系数线性微分方程 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法. ５、二阶常系数齐次线性方程解法