高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ③线性方程 伯努利方程 Http://www.heut.edu.cn
第二节 一阶线性微分方程 线性方程 伯努利方程
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 线性方程 义形如 +p(x)y=o(x) dx 为一阶线性微分方程的标准形式 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的.(对于方程形式) 当Q(x)年0,上方程称为非齐次的 例如中 db =y+r 女 saint+t2,线性的; yy-2xy=3,y-cosy=1,非线性的. Http://www.heut.edu.cn
P(x) y Q(x) dx dy + = 为一阶线性微分方程的标准形式 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的. 形如 （对于方程形式） 定义 一、线性方程
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 一阶线性微分方程的解法 1.线性齐次方程+P(x)y=0 (使用分离变量法) dy P(x)dx. yJ P(dx lny=-「P(x)+lmnC, 齐次方程的通解为y=CJ∫P(x Http://www.heut.edu.cn
+ P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法) 一阶线性微分方程的解法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.线性非齐次方程+P(x)y=Q(x) 讨论:小 o(x) 9 两边积分ny= e() dx- P(x)dx, 设 (x)k为v(x),my=v(x)-「P(x) 即y=elex).非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比:C→(x) Http://www.heut.edu.cn
2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: C u(x)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换. 新未知函数u(x)→原未知函数y(x), 作变换y=l(x)e (x)dx P(x)dx P(x)dx y=u(ce tu(x)l-p(x)le Http://www.heut.edu.cn
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x), 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x P x d x y u x e u x P x e 常数变易法