高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第 ③全微分方程及其解法 积分因子法 Http://www.heut.edu.cn
第三节 全微分方程 全微分方程及其解法 积分因子法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 全微分方程及其解法 若有全微分形式 d(x,y)=P(x,y)d+Q(x,y)全微分方程 A P(x, y)dx +o(x, y)dy=0 或恰当方程 例如xdx+yoy=0,a(x,y)=(x+y2), d(x,y)=xdx+y小少,所以是全微分方程 全微分方程分 OP 00 Http://www.heut.edu.cn
则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P = 全微分方程 定义 一、全微分方程及其解法
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 解法 P(x,y)+Q(x,y)小y=0全微分方程 aP 80 应用曲线积分与路径无关 ay ax 通解为以(xy)=」P(x,y)dx+Q(xn,y)d Jx,y)十」P(x,y;)x,(x,y)=C; 用直接凑全微分的方法 Http://www.heut.edu.cn
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 应用曲线积分与路径无关. x Q y P = 通解为 = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. 全微分方程 解 法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求方程(x3-3x2x+(y3-3x2y)d=0 的通解 解 aP q=-0y Q ,是全微分方程, u(x,y)=J(x3-3xy')dx+l y x3, 2 r y t x43 原方程的通解为 22 x1- y =C. Http://www.heut.edu.cn
. ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P = − = 是全微分方程, = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求方程≠小2-1 小y=0的通解 解∂P6x_o,是全微分方程, ay ax 2 将左端重新组合2d+( 3x 4 dy) 2 =d(--)+d(3)=d(-+3), 原方程的通解为-+ =C 3 Http://www.heut.edu.cn
0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P = − = 是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2