河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 微分方程（12.7）二阶常系数非齐次线性微分方程

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第七节 ●(x)=ePn(x)型 e f(x)=el(p,(x)cos ax +Pm(x)sin ax) Ay 小结 Http://www.heut.edu.cn

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 f(x) = e λ x pm (x)型 小结 f (x) = e x ( pl (x)cosx + pm (x)sinx)型

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x)=ePn(x)型 y"+py+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0, 通解结构y=Y+y, 常见类型Pn(x),P(x)ex, Pm(x)e cos Br, Pn(x)e sin Rx, 难点:如何求特解?方法:待定系数法 Http://www.heut.edu.cn

y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 一 、f (x) = e x Pm (x)型

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设非齐方程特解为y=Q(x)e代入原方程 Q(x)+(24+p)Q(x)+(+p元+q)Q(x)=Pn(x) (1)若不是特征方程的根,2+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),y=Qn(x)e; (2)若4是特征方程的单根, 22+p+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=x(x)e; Http://www.heut.edu.cn

设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = ( ) ; x m y xQ x e  =

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (3)若是特征方程的重根, 2+p九+q=0,2+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),y=x2n(x)e 综上讨论 0元不是根 设=xe“Qn(x),k=114是单根, 2λ是重根 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数) Http://www.heut.edu

(3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e  = 注 意 综上讨论

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 特别地y"+py+gy=Ae )x+B2e,4不是特征方程的根 xe是特征方程的单根 2元+p λ是特征方程的重根 Http://www.heut.edu.cn

特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2