高数课程妥媒血课件 理工大理>> 人 f(x)型的微分方程 (k) (n- ●0● )型 (n) (n-」 y,y,y )型 ●恰当导数方程 小结、思考题 Http://www.heut.edu.cn
第四节 可降阶的高阶微分方程 y (n) = f (x, y (k ) y (n−1) ) 型 y (n) = f (x)型的微分方程 y (n) = f ( y, y , y y (n−1) ) 型 恰当导数方程 小结、 思考题
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x)型的微分方程 这种方程通过n次积分可得通解,微分方程右端 仅含有自变量x,容易看出,只要把y作为新的 未知函数那么方程就是新未知数的一阶微分方程 两边积分得到一个n-1阶的微分方程 pn)=∫/f(xlc 旦通2)-11(x)++ Http://www.heut.edu.cn
这种方程通过n次积分可得通解，微分方程右端 仅含有自变量x，容易看出，只要把 (n−1) y 作为新的 未知函数那么方程就是新未知数的一阶微分方程， 两边积分得到一个n-1阶的微分方程 = + − 1 ( 1) y f (x)dx c n = + 1 + 2 (n-2) 同理 y [ f (x)dx c ]dx c 一、y (n) = f (x)型的微分方程
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 依次继续进行,积分n次,便得含n个任意常数 的通解 例1、求微分方程ym=e2x-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次得 y=e -sinto 2x y=e tcosx+ c2 通解 2x y=re tsinxt crx tc2xtc3 Http://www.heut.edu.cn
例1、求微分方程 y e x x cos 2 = − 的通解 对所给方程接连积分三次 得 1 2 sin 2 1 y e x c x = − + 1 2 2 cos 4 1 y e x c x c x = + + + 2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x c x c x c x 通 解 = + + + + 依次继续进行，积分n次，便得含n个任意常数 的通解 解
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2:求解微分方程,x2y4+1=0 解 Ac Inxtclxtc y'=xInx-x+x2+c, x+c J Inx+Cr tc,x +cx+ca 3 2 Http://www.heut.edu.cn
例2：求解微分方程 1 0 2 (4) x y + = 2 (4) 1 x y = − 1 1 c x y = + 1 2 y = ln x + cx + c 2 3 1 2 2 ln x c x c c y x x x + + = − + 3 4 2 2 3 1 2 ln 2 x c x c x c x c x y = + + + + 3 3 2 2 1 1 ) 4 3 2 ( 6 c c c c c c − = = = 解
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (k) (n-1) 特忘)不显含未知函数y及y,…,y) 解法:令y1)=P(x) 则y(t)=P,y1"=P 代入原方程,得 P(x)的-b阶方程 P=f(x,P(x),…,P((x).求得P(x), 将y)=P(x)连续积分k次,可得通解 Http://www.heut.edu.cn
代入原方程, 得 , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y ( ) ( ) y P x k 令 = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 = = ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− = P(x)的(n-k)阶方程 求得 P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. ( ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 二、y f y y 解法： 特点