《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3-2 矩阵的秩

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH1已知A=求该矩阵的秩例33解2E± 0,一计算A的3阶子式23-221-22￥3-2￥316 2 3=D,-13=00-13=021=00521.. R(A)= 2.= 0.上页国下页文

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0.  R(A) = 2

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH-２２3另解对矩阵 A=做初等变换2 —１302-1320一显然，非零行的行数为2此方法简单！.. R(A) = 2.国质

对矩阵 做初等变换，           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2           − −           − − −  显然，非零行的行数为2，  R(A) = 2. 此方法简单！

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH二、矩阵秩的求法因为对于任何矩阵A,总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形问题：经过变换矩阵的秩变吗？定理1 若 A～ B,则 R(A)=R(B)证先证明：若A经一次初等行变换变为B,则R(A)≤ R(B),设 R(A)=r， 且 A的某个r阶子式D,±0.上页回下质

. , 等行变换把他变为行阶梯形 因为对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定 理1 若 A ~ B,则 R(A) = R(B). 证 二、矩阵秩的求法 ( ) ( ). R A R B A B 则  先证明：若 经一次初等行变换变为 ， ( ) =  0. Dr 设 R A r，且 A的某个r 阶子式

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH当A—→B或A—rx→B时,在 B 中总能找到与D,相对应的子式Dr,由于 D, =D,或 D, = -D,或 Dr = kD,因此D.±0，从而R(B)≥r当A—"+k→B时，分三种情况讨论(1）D中不含第行(2）D中同时含第行和第行（3）D中含第行但不含第行：页画下页

当A B或A r k B时， r r i ⎯i ⎯j→ ⎯⎯ →  当A i j B时，分三种情况讨论： r kr ⎯ ⎯→ + r ,. 在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D , r r r r r 由于 Dr = D 或 D = −D 或 D = kD D 0 R(B) r. r 因此  ，从而  （ ） 中含第 行但不含第 行； （ ） 中同时含第 行和第 行； （ ） 中不含第 行； D i j D i j D i r r r 3 2 1