《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.4）矩阵的最大秩分解

§4矩阵的最大秩分解 定理1设A∈CmM,则存在矩陶B∈Cr", D∈Cr,使得 A= BD 证A∈C nXn L O A=U H 00 L A=Uo( O)v L A=BD,BUL, D=( O)V 0

§4 矩阵的最大秩分解 定理 1 , , m r r m n A Cr B C   设  则存在矩阵  A = BD DCr rn ，使得 证 m n A Cr   0 0 0 L H A U V   =     ( 0) 0 L H A U I V   =     , = , 0 ( ) 0 L H A BD B U D I V   = =    

矩阵的最大秩分解步骤: 进行行初等变化,化为行标准形 00.00.0 00 00 的第i,2…,列构成B=(an,a1,…,a1) 、A的非零行则构成D

矩阵的最大秩分解步骤： 一、进行行初等变化，化为行标准形：                       = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * 0 0 0 1 0 * 0 1 * 0 0 * ~                                         A 1 i 2 i r i 1 2 1 2 , , , ( , , , ); r 二. 的第 列构成 A i i i B a a a r i i i = ~ 三、 的非零行则构成 A D

例1求矩阵 13214 A=26107的最大秩分解 393111

例 1 求矩阵 1 3 2 1 4 2 6 1 0 7 3 9 3 1 11 A     =       的最大秩分解

解一 130-1/310/3 0012/31/3|=A 0000 12 B=21 33 130-1/310/3 D 0012/31/3

~ 1 3 0 1/ 3 10 / 3 0 0 1 2 / 3 1/ 3 0 0 0 0 0 A   −   =       A 解一 1 2 2 1 3 3 B     =       1 3 0 1/ 3 10 / 3 0 0 1 2 / 3 1/ 3 D   − =    

解 101 011 000 0 00012 2 B 101 00036 D

解二 A ~ 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 A     =       1 0 0 1 1 1 B     =       1 3 2 1 4 2 6 1 0 7 D   =    