《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.5）矩阵的奇异值分解

§5矩阵的奇异值分解 定理1设A∈CmW",则有 (1)rank(a)=rank (aA=rank(Aa (2)AHA、A4的特征值均为非负实数 (3)AHA、A4的非零特征值相同 证设rmk(4A)=r→AAx=0的解空间 为n-r维,记为X设x∈xx1A14x1=0

§5 矩阵的奇异值分解 定理 1 设 ACr mn ,则有 (1) ( ) ( ) ( ) H H rank A = rank A A = rank AA 证 (2) A H A、AAH 的特征值均为非负实数 (3) 、 的非零特征值相同. H H A A AA rank A A r H 设 ( ) = A H Ax = 0的解空间 为n− r 维，记为X 设 x1  X x1 A Ax1 H H = 0

x1A4x1=(4x1)4xn=0 Ax1=0 ramk(4)≤mnk(4A) rank(A)=rank(AA (2)AAa=a0≤(4a,Aa) =(a, A" Aa=(a, na)=n(a, a) ≥0

x1 A Ax1 = (Ax1 ) Ax1 = 0 H H H Ax1 = 0 rank(A) rank(A A) H  rank(A) rank(A A) H = A A =   H (2) 0  (A, A) (, A A) H = = (,  ) = (,)   0

(3)设AA的特征值为 A1≥12≥…≥1>1+1=…=n=0 AA的特征值为 1≥22…2H1>H+1=…=Hm=0 A Ai=niai (AA )Ai=A(A Aai →(A41)Aa=A24a :也是AA1的非零特征值

(3) 设 A H A的特征值为 1  2  r  r+1 == n = 0 AAH 的特征值为 1 2 1 0          = = = r r m + i i i H A A =   ( ) ( ) i H i H AA A = A A A i i i H (AA )A =  A i 也是 AAH 的非零特征值

同理可证: AA4的非零特征值也是AA的非零特征值 设n,…,n是A4的特征子空间组基 k141+k242+…+kn4yp=0 k144n1+k2442+…+kn414n=0 (k1y1+k2y2+…+knyn)=0

同理可证: AAH 的非零特征值也是 A H A的非零特征值 设y1 ,  , y p 是A H A的特征子空间V 一组基 k1 Ay1 + k2 Ay2 ++ kp Ay p = 0 1 1 + 2 2 + + p = 0 H p H H k A Ay k A Ay  k A Ay (k1 y1 + k2 y2 ++ kp y p ) = 0

k1y1+k2y2+…+knyp=0 k1,k2,…,k全为零 小1,4y2,…,Ay线性无关 AA的特征子空间的维数不大于A的 特征子空间的维数 同理可证;A的特征子空间的维数

k1 y1 + k2 y2 ++ k p y p = 0 k1 , k2 ,  , k p 全为零 Ay1 , Ay2 ,  , Ay p 线性无关 A H A的特征子空间V 的维数不大于AAH 的 特征子空间V 的维数 同理可证： AAH 的特征子空间V 的维数