pVa 13 简单的逻辑联结河 在数学中,有时会使用一些联结词,如“且”“或”“非”.在生活用语中 我们也使用这些联结词,但表达的含义和用法与在数学中的含义和用法不尽相 同.下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法 为叙述简便,今后常用小写字母p,qr,s,…表示命题 13.1且(and) 考 下列三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除; (2)12能被4整除; (3)12能被3整除且能被4整除 可以看到,命题(3)是由命题(1)(2)使用联结 词“且”联结得到的新命题 一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起 来,就得到一个新命题,记作 读作“p且q” 命题p∧q的真假如何确定呢? 我们可以从串联电路理 般地,我们规定: 解联结词“且”的含义。若 当pq都是真命题时,pAq是真命题;当p,q开关p,q的闭合与断开分 两个命题中有一个命题是假命题时,pAq是假命题 别对应命题p,q的真与假, 则整个电路的接通与断开分 上面“思考”中的命题(1)(2)都是真命题,所以别对应命题PAq的真与假 命题(3)是真命题
第一章常用逻辑用语 第一章 例1将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等; (2)p:菱形的对角线互相垂直,q菱形的对角线互相平分; (3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数 解:(1)p∧q:平行四边形的对角线互相平分且相等.由于p是真命题,q是假命 题,所以p∧q是假命题 (2)pAq:菱形的对角线互相垂直且平分.由于p是真命题,q是真命题,所以pAq 是真命题 (3)pAq:35是15的倍数且是7的倍数.由于p是假命题,q是真命题,所以pAq 是假命题 例2用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假: (1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数 解:(1)命题“1既是奇数,也是素数”可以改写为“1是奇数且1是素数”.因为 1是素数”是假命题,所以这个命题是假命题 (2)命题“2和3都是素数”可以改写为“2是素数且3是素数”.因为“2是素数” 与“3是素数”都是真命题,所以这个命题是真命题 132或(or) 考 下列三个命题间有什么关系? (1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数; (3)27是7的倍数或是9的倍数 命题(3)是由命题(1)(2)用联结词“或”联结得到的新命题 一般地,用联结词“或”把命题ρ和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作 pVq 读作“p或q” 15
CHAPTER 菩通高中课程标准实验教科书数学选修2-1 命题pVq的真假如何确定呢? 一般地,我们规定: 当p,q两个命题有一个命题是真命题时,pVq是真命 题;当p,q两个命题都是假命题时,pVq是假命题 上面“思考”中的命题(1)是假命题,命题(2)是真 命题,所以命题(3)是真命题 例3判断下列命题的真假: 我们可以从并联电路理 (1)2≤2; 解联结词“或”的含义。若 (2)集合A是A∩B的子集或是AUB的子集; 开关p,q的闭合与断开对 应命题的真与假,则整个电 (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角路的接通与断开分别对应命 形全等 题pVq的真与假 解:(1)命题“2≤2”是由命题: P:2=2;q:2<2 用“或”联结后构成的新命题,即pVφ 因为命题ρ是真命题,所以命题pVq是真命题 (2)命题“集合A是A∩B的子集或是AUB的子集”是由命题 p:集合A是A∩B的子集; q:集合A是AUB的子集 用“或”联结后构成的新命题,即pVq 因为命题q是真命题,所以命题pVq是真命题 (3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题: p:周长相等的两个三角形全等; q:面积相等的两个三角形全等 用“或”联结后构成的新命题,即pVq 因为命题p,q都是假命题,所以命题p∨q是假命题 考 如果p∧q为真命题,那么pVq一定是真命题吗?反之,如果pVq为 真命题,那么p∧q一定是真命题吗? 16
第一章常用逻辑用语 第一章 133非(not) 考 下列两个命题间有什么关系? (1)35能被5整除; (2)35不能被5整除 可以看到,命题(2)是命题(1)的否定, 一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 注意此处命题的否定与 1.1.2中否命题的区别 p 读作“非p”或“p的否定” 上面的思考中,命题(1)是真命题,命题(2)是假命题.命题-p是p的否定 户与p不能同为真命题,也不能同为假命题.也就是说, 若p是真命题,则一p必是假命题;若p是假命题,则一p必是真命题 例4写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)p:y=sinx是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合A的子集 解:(1)→p:y=sinx不是周期函数 命题p是真命题,一p是假命题 (2)-p:3≥2. 命题p是假命题,一p是真命题 (3)一p:空集不是集合A的子集 命題p是真命题,一p是假命题 l17圆
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1 练习 1.判断下列命题的真假 (1)12是48且是36的约数; (2)矩形的对角线互相垂直且平分 2.判断下列命题的真假: (1)47是7的倍数或49是7的倍数; (2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直 3.写出下列命题的否定,然后判断它们的真假: (1)2+2=5 (2)3是方程x2-9=0的根; (3) √(-1)=-1. 习题1.3 A组 1.写出下列命题,并判断它们的真假: (1)pVq,这里p:4∈{2,3),q:2∈(2,3}; (2)pAq,这里p:4∈{2,3},q:2∈{2,3}; (3)pVq,这里p:2是偶数,q:3不是素数; (4)pAq,这里p:2是偶数,q:3不是素数 2.判断下列命题的真假: (1)5>2且7>3;(2)3>4或3<4; (3)7≥8 3.写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)√2是有理数;(2)5不是15的约数 (3)2<3; (4)8+7≠15; (5)空集是任何集合的真子集. B组 判断下列命题的真假,并说明理由: (1)pVq,这里p:x是无理数,q:#是实数; (2)pAq,这里p:x是无理数,q:#是实数; (3)pVq,这里p:2>3,q:8+7≠15; (4)PAq,这里p:2>3,q:8+7≠15. 18