p: a>b,g:a+c>b+c peg 1.2 充分条件与必要条件 12,1充分条件与必要条件 前面我们讨论了“若p,则q”形式的命题,其中有的命题为真命题,有的命题 为假命题.例如,下列两个命题中: 1(1)若x>a2+b2,则x>2ab, (2)若ab=0,则a=0, 命题(1)为真命题,命题(2)为假命题 一般地,“若ρ,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就 说,由p可推出q记作 →>q 因为命题(1)的递否 并且说p是q的充分条件( sufficient condition),q是p命题“若x≤2ab,则x≤ 1的必要条件( necessary condition). a2+b”也是真命题.这就 是说,要使x>a2+b成 上面的命题(1)是真命题,即 立,就必须有x>2ab成立 x>a2+b2→x>2ab, 因此,“x>2ab”是“x 1所以“x>a2+b”是“x>2ab”的充分条件,“x a2+b”成立的必要条件 12ab”是“x>a2+b2”的必要条件 1例1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若x=1,则x2-4x+3=0; 1(2)若f(x)=x,则∫(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.所以,命题(1)(2)中的p 是q的充分条件 如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作pq,此时,我们就说 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 圆9温
CHAPTER 菩通高中课程标准实验教科书数学选修21 例如,例1中的命题(3)是假命题,那么 x为无理数少x2为无理数, 所以“x为无理数”不是“x2为无理数”的充分条件,“x2为无理数”不是“x为无理数” 的必要条件 例2下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b,则ac>b 解:命題(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.所以,命题(1)(2)中的q是p 的必要条件 籌习 1.用符号“→”与“”填空: (1)x2=y2 (2)内错角相等 两直线平行; (3)整数a能被6整除a的个位数字为偶数; (4) ac=bc a=b 2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若x>5,则x>10. 3.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的必要条件? (1)若a+5是无理数,则a是无理数; (2)若(x-a)(x-b)=0,则x=a. 4.判断下列命题的真假: (1)x=2是x2-4x+4=0的必要条件; (2)圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (3)sina=sinB是a=B的充分条件; (4)ab≠0是a≠0的充分条件. 10
第一章常用逻辑用语 第一章 122充要条件 思考 已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数, 那么P是q的什么条件?q又是p的什么条件? 在上述问题中,p→>q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件. 另一方面,q→p,所以p也是q的必要条件,q也是p的充分条件 般地,如果既有p→>q,又有q→>p,就记作 pe?q 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件 ( sufficient and necessary condition).显然,如果p是q的充 P是q的充要条件” 要条件,那么q也是p的充要条件 也说成“p等价于q”“q当 且仅当p”等 概括地说,如果的,那么p与q互为充要条件 例3下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (2)p:x>0,y>0,q:xy>0 (3)P: a>b, q: a+e>b+e. 解:在(1)(3)中,,所以(1)(3)中的p是q的充要条件.在(2)中,qp 所以(2)中的p不是q的充要条件 例4已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d 求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件 分析:设p:d=r,q:直线l与⊙O相切.要证p是q的充 要条件,只需分别证明充分性(p→q)和必要性(q→p)即可 证明:如图1.2-1所示,作OP⊥l于点P,则OP=d (1)充分性(p→q):若d=r,则点P在⊙O上.在直线l上 图1.2 任取一点Q(异于点P),连接OQ.在Rt△OPQ中,QQ>OP=r.所以,除点P外直线l 上的点都在⊙O的外部,即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切 (2)必要性(q>p):若直线l与⊙O相切,不妨设切点为P,则OP⊥L.因此,d= OP=r 11
CHAPTER 菩通高中课程标准实猃教科书数学选修2-1 练习 1.下列形如“若p,则q"”的命题是真命题吗?它的逆命題是真命题吗?p是q的什么条件? (1)若平面a外一条直线a与平面a内一条直线平行,则直线a与平面a平行; (2)若数列{an)的通项公式是an=n+c(c是常数),则数列{a}是公差等于1的等差数列; (3)若直线a与平面a内两条直线垂直,则直线a与平面a垂直 2.在下列各题中,P是q的什么条件? (1)p:x2=3x+4,q:x=3x+4 (2)p:x-3=0,q:(x-3)(x-4)=0; (3)p:b2-4ac≥0(a≠0),q:ax2+bx+c=0(a≠0)有实根; (4)p:x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0. 习题1.2 A组 举例说明: (1)p是q的充分条件; (2)p是q的必要条件 (3)p是q的充要条件 2.判断下列命题的真假: (1)“a>b”是“a2>b”的充分条件; (2)“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件 (3)“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件 3.下列各题中,P是q的什么条件? (1)p:x=1,q:x-1=√x-1; (2)p:1x-21≤3,-1≤≤5 (3)p:x=2,q:x-3=√3-x; (4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形 4.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件 12
第一章常用逻辑用语 第一章 组 1.已知A={x|x满足条件p),B={x|x满足条件q} (1)如果AcB,那么p是q的什么条件; (2)如果BCA,那么p是q的什么条件; (3)如果A=B,那么P是q的什么条件 2.证明:△ABC是等边三角形的充要条件是 a'+b+e=ab+ac+bc. 这里a,b,c是△ABC的三条边 13一