第一章常用逻辑用语 第一章 阅读 道…m,开 逻辑联结词“且”“或”“非”与集合的“交”“并”“补”之间有关系吗? 先看一个具体例子 我们知道,由“2是偶数”与“2是素数”都是真命题,可以得到“2是偶数且是素 数”是真命题.另一方面,由集合的“交”运算可以知道:由2∈{偶数},2∈{素数},可 以得到2∈{偶数}∩{素数}.如果把“真”对应于∈,“且”对应于“交”,那么,“2是偶 数是真命题”可以对应于2∈{偶数},“2是素数是真命题”可以对应于2∈{素数},“2是 偶数且是素数”是真命题就可以对应于2∈{偶数}∩{素数} 从上述例子得到启发,我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立 联系 我们知道,对于逻辑联结词“且”有如下规定: 若pq都是真命题,则p∧q是真命題;若p,q中有假命题,则p∧q是假命题 对于集合的“交”有如下规定: 若a∈P,a∈Q,则a∈P∩Q;若a∈P或a∈Q,则a∈P∩Q 把命题p,q分别对应于集合P,Q,“真”“假”“∧”分别对应于“∈”“∈”“∩”, 那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性。更具体地说,就是“p是真命 题”对应于“a∈P”,“q是真命题”对应于“a∈Q”,“pAq是真命题”对应于“a∈P∩ ,“p∧q是假命题”对应于“a∈P∩Q 你能发现逻辑联结词“或”和集合的“并”运算的规定在形式 上的一致性吗? 逻辑联结词“非”和集合的“补”又有什么关系呢? 再看一个具体例子 若以整数集为全集,则偶数集和奇数集互为补集.由“2是偶数”是真命题,可以得到 “2是奇数”是假命题;由“3是偶数”是假命题,可以得到“3是奇数”是真命题.用集合 的方式则可表达为:由2∈{偶数},可以得到2∈{奇数};由3日{偶数},可以得到3∈{奇 数}.如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“∈”“∈”,那么,命题p和它的否定一p 可以对应于集合P和它的补集DP,“P是真命题”对应于“a∈P”,“一p是假命题”对应 于“a∈CP”,“p是假命题”对应于“a∈P,“p是真命题”对应于“a∈CP l19
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1 般地,对于逻辑联结词“非”有如下规定: 若p是真命题,则一p是假命题;若p是假命题,则一户是真命题 对于集合的“补”有如下规定: 设U为全集,PCU,若a∈P,则a∈CP;a∈P时,则a∈CP 究 类比“且”与“交”的联系,并结合上述例子,你能建立逻辑 联结词“非”与集合的“补”运算之间的对应关系吗? 留g 从上述讨论可以发现:命题題与集合之间可以建立对应关系,在这样的对应下,逻辑联 结词与集合的运算具有一致性,命題的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并” “补”.因此,我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定 20
1x∈M,P(x) 3x∈M,P(x 全称量词与存在量词 141全称量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3 (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数 我们知道,命题是可以判断真假的陈述句.语句(1)(2)含有变量x,由于不知 1道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,因而不是命题,语句(3)在(1)的基 础上,用短语“对所有的”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语 对任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此 语句(3)(4)是命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全 1称量词( universal quantifier),并用符号“”表示 1含有全称量词的命题,叫做全称命题 常见的全称量词还有 例如,命题: 切”“每一个”“任给” “所有的”等 对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形 都是全称命题 通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围 用M表示.那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x) 21
CHAPTER 菩迺高中课程标准实猃教科书数学选修2-1 读作“对任意x属于M,有p(x)成立” 例1判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; (2)x∈R,x2+1≥1; (3)对每一个无理数x,x2也是无理数 分析:要判定全称命题“Ⅴx∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(xo)不成立,那么这个全称命 题就是假命题 解:(1)2是素数,但2不是奇数.所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题 (2)Vx∈R,总有x2≥0,因而x2+1≥1.所以,全称命题“Vx∈R,x2+1≥1”是 真命题 (3)√2是无理数,但(√2)2=2是有理数.所以,全称命题“对每一个无理数x,x也 是无理数”是假命题 14.2存在量词 思 考 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x。能被2和3整除 容易判断,(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对 变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值 进行限定,从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存 在量词( existential quantifier),并用符号“彐”表示.含 常见的存在量词还有 有些”“有一个”“对某个 有存在量词的命题,叫做特称命题 有的”等 例如,命题:
第一章常用逻辑用语 第一章 有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数 都是特称命题 特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 彐xo∈M,p(xo) 读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立” 例2判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x,使x3+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数 分析:要判定特称命题“彐xo∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元 素xa,使p(xo)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特 称命题是假命题 解:(1)由于Vx∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x 不存在.所以,特称命题“有一个实数x。,使x3+2x。+3=0”是假命题 (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面 垂直于同一条直线.所以,特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假 命题 (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题“有些整数只有两个正因 数”是真命题 练习 1.判断下列全称命题的真假: (1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3)Vx∈{x|x是无理数},x2是无理数 2.判断下列特称命题的真假: (1)3xa∈R,x0≤0; (2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; (3)3x0∈{x|x是无理数},x是无理数 23