CHAPTER 萼通高中课程标准实猃教科书数学选修2· 练习 1.举出一些命题的例子,并判断它们的真假 2.判断下列命题的真假: (1)能被6整除的整数一定能被3整除; (2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形是正方形; (3)二次函数的图象是一条抛物线; (4)两个内角等于45的三角形是等腰直角三角形 3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断它们的真假: (1)等腰三角形两腰的中线相等; (2)偶函数的图象关于y轴对称; (3)垂直于同一个平面的两个平面平行 112四种命题 思 考? 下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分 别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数 (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数, 可以看到,命题(1)的条件是命题(2)的结论,且命题(1)的结论是命题(2)的 条件,即它们的条件和结论互换了 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题( original propo sItion),另一个叫做原命题的逆命题( Inverse proposition). 也就是说,如果原命题为 若p.则 那么它的逆命题为 若q,则p
第一章常用逻辑用语 第一章 这样一来,将一个已知命题的条件和结论互换,就可以得到一个新的命题,它是已知 命题的逆命题. 例如,将命题“同位角相等,两直线平行”的条件和结论互换,就得到它的逆命题 两直线平行,同位角相等 图究 ( 1.举出一些互逆命题的例子,并判断原命题与逆命题的真假. 2.如果原命题是真命题,那么它的逆命题一定是真命题吗? 对于命题(1)(3),其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定,我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那 么另一个叫做原命题的否命题( negative proposition) 也就是说,如果原命题为 为书写简便,我们常常 若p,则 把条件p的否定和结论q的 那么它的否命题为 否定,分别记作 和 若一p,则 ”,读作“非p”和 非q” 例如,如果原命题是“同位角相等,两直线平行”,那 么它的否命题是“同位角不相等,两直线不平行” 又如,如果原命题是“若整数a不能被2整除,则a是奇数”,那么它的否命题是“若整数 能被2整除,则a是偶数 究。 1.举出一些互否命题的例子,并判断原命题与否命题的真假. 2.如果原命题是真命题,那么它的否命题一定是真命题吗? 对于命题(1)(4),其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条 件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命 题,那么另一个叫做原命题的逆否命题( inverse and negative proposition) 也就是说,如果原命题为 若p,则q” 那么它的逆否命题为 ‘若一q,则→p” 例如,如果原命题是“同位角相等,两直线平行”,那么它的逆否命题是“两直线不 平行,同位角不相等” 5
CHAPTER 菩通高中课程标准实验教科书数学选修2-1 究 1.举出一些互为逆否命题的例子,并判断原命题与逆否命题的 真假 2.如果原命题是真命题,那么它的逆否命题一定是真命题吗? 下面我们将上述四种情况概括一下 设命题(1)“若p则q”是原命题,那么 命题(2)“若q,则p”是原命题的逆命题, 命题(3)“若一p,则一q”是原命题的否命题, 命题(4)“若-q,则→p”是原命题的逆否命题 练习 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假 (1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除; (2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; 3()函数的图象关于原点对称 113四种命题间的相互关系 思 考 观察下面四个命题: (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数 我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系.你能说出其 中任意两个命题之间的相互关系吗? 我们发现,命题(2)(3)是互为逆否命题,命题(2)(4)是互否命题,命题(3)(4) 是互逆命题
第一章常用逻辑用语 第一章 一般地,原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系,如图1.1 1所示 若p,则q 若q,则 原命题 互逆 逆命题 为逆 互 否 逆 否 否命题 逆香命题 互逆 若→p,则 若q,则p 图1.1-1 上面考察了四种命题之间的相互关系.它们的真假性是否也有一定的相互关系呢? 以“思考”中的命题(1)~(4)为例,并设命题(1)是原命题.容易判断,原命题 (1)是真命题,它的逆命题(2)是假命题,它的否命题(3)也是假命题,而它的逆否命 题(4)是真命题 究 1.以“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,写出它的逆命 題、否命题与逆否命题,并判断这些命题的真假. 2.再分析其他的一些命题,你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗? suannnenaSenSnEEESEEBESOnRSESRESEESRESSERE 一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 假 真假真假 假 真 真真假假 假 假 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此这四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以我们在直接证明某一个命题为真命 题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题 例4证明:若x2+y2=0,则x=y=0 分析:将“若x2+y2=0,则x=y=0”视为原命题.要证明原命题为真命题,可以
CHAPTER 菩通高中课程标准实验教科书数学选修2-1 考虑证明它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”为真命题,从而达 到证明原命题为真命题的目的 证明:若x,y中至少有一个不为0.不妨设x≠0.则:(0,所以 +y0. 这与已知条件x2+y2=0矛盾,故x=y=0. 这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题 练习 证明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1. 习题1.1 A组 1.判断下列语句是不是命题: (1)12>5; (2)若a为正无理数,则a也是无理数; (3)x∈{1,2,3,4,5}; (4)正弦函数是周期函数吗? 2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1)若a,b都是偶数,则a+b是偶数; (2)若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根 3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题,然后判断它们 的真假: (1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (2)矩形的对角线相等 1”4.求证:若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角也不相等 B组 二求证:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 8