Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导913.3含参变量广义积分13.3.1一致收敛性及其判别法这一节我们进一步考虑含参变量的广义积分，为确定起见，只讨论具有无穷上限的积分.其结果可以类推到具有无穷下限及无界函数的积分（即瑕积分）假设函数f(α,u)在 I=[a,+oo)×[α,β] 上连续,若对任意给定的uE[α,β],广义积分+αf(c, u)dac都收敛，称为含参变量u的广义积分.这种积分确定了区间[α,β]上的一个函数f(c, u)da,u E [α, β] → (u) =我们的目的就是要研究这类函数的连续性、可微性和可积性返回全屏关闭退出II1/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ §13.3 ¹ëCþ2ÂÈ© 13.3.1 Âñ59ÙO{ ù!·?ÚĹëCþ2ÂÈ©. (½å, ?Øäk áþÈ©. Ù(J±aíäkáe9Ã.¼êÈ©£=× È©¤. b¼ê f(x, u) 3 I = [a, +∞) × [α, β] þëY, eé?¿½ u ∈ [α, β], 2ÂÈ© Z +∞ a f(x, u)dx ÑÂñ, ¡¹ëCþ u 2ÂÈ©. ù«È©(½ «m [α, β] þ ¼ê u ∈ [α, β] 7−→ ϕ(u) = Z +∞ a f(x, u)dx, ·8Ò´ïÄùa¼êëY5!5ÚÈ5. 1/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
连续性Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法交换积分号积分号下求导定义 1 如果存在函数 (u)使得对任意给定的正数 ε,总能找到 X(>a)当b>X时，不等式f(c, u)dc - p(u)|< e对任意 u E [α,β] 成立,则称广义积分 f+°f(a,u)dc 在[α,β] 上一致收敛于(u).这里的[α,β]还可以换成开区间或无穷区间定理 1 如果对任意给定的正数 ε,总能找到 X (>α),当 b>X 时,不等式f(α, u)dc < e对任意 u E [α,β] 成立,则称广义积分 f+f(ac,u)dc 在[α,β] 上一致收敛，这里的[α，β]还可以换成开区间或无穷区间返回全屏关闭退出I42/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ½Â 1 XJ3¼ê ϕ(u) ¦é?¿½ê ε, oUé X (> a), b > X , Ø ª Z b a f(x, u)dx − ϕ(u) < ε é?¿ u ∈ [α, β] ¤á, K¡2ÂÈ© R +∞ a f(x, u)dx 3 [α, β] þ ñu ϕ(u). ùp [α, β] ±¤m«m½Ã¡«m. ½n 1 XJé?¿½ê ε, oUé X (> a), b > X , Ø ª Z +∞ b f(x, u)dx < ε é?¿ u ∈ [α, β] ¤á, K¡2ÂÈ© R +∞ a f(x, u)dx 3 [α, β] þ ñ. ùp [α, β] ±¤m«m½Ã¡«m. 2/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导根据前定理不难证明下列结果定理2无穷区间上含参变量的广义积分+f(c,u)dc是一致收敛的充分必要条件是lim β(b) = 0b-→+α其中+B(b) = supAue[a,p] /Jb+81例1无穷积分da 在[0,+)上一致收敛u+2这是因为to→ 0, (b → +8)dadau+222bh返回全屏关闭退出3/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ âc½nØJy²e(J. ½n 2 á«mþ¹ëCþ2ÂÈ© R +∞ a f(x, u)dx ´Âñ¿ ©7^´ lim b→+∞ β(b) = 0 Ù¥ β(b) = sup u∈[α,β] Z +∞ b f(x, u)dx ~ 1 áȩ Z +∞ 1 1 u + x2 dx 3 [0, +∞) þÂñ. ù´Ï Z +∞ b 1 u + x2 dx 6 Z +∞ b 1 x2 dx = 1 b → 0, (b → +∞). 3/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
连续性Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法交换积分号积分号下求导定理3（Cauchy 准则）积分f+f(α,u)da 在区间[α,β] 上一致收敛的充分必要条件是：对任意给定的正数ε.总存在一个仅与ε有关的数B.使得当b1,bz>B,就有不等式rbf(α, u)d8Jby对区间 [α,β] 上的一切 u 值成立定理4(Weierstrass判别法）设 f(ac,u)在区域I=[a,+oo)×[α,β] 上连续如果存在一个在[a，十）上广义可积的函数p(α)，使得对于一切充分大的以及[α,β]上的任意u都有If(c, u)I < p(α),则积分f+f(c,u)da在[α,β] 上一致收敛.p(α)称为它的控制函数返回全屏关闭退出4/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ½n 3 (Cauchy OK) È© R +∞ a f(x, u)dx 3«m [α, β] þÂñ ¿©7^´: é?¿½ê ε, o3= ε k'ê B, ¦ b1, b2 > B, ÒkØ ª Z b2 b1 f(x, u)dx < ε é«m [α, β] þ u ¤á. ½n 4 (WeierstrassO{) f(x, u) 3« I = [a, +∞) × [α, β] þëY. XJ33 [a, +∞) þ2Âȼê p(x), ¦éu¿© x ±9 [α, β] þ?¿ u Ñk |f(x, u)| 6 p(x), KÈ© R +∞ a f(x, u)dx 3 [α, β] þÂñ. p(x) ¡§¼ê. 4/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号积分号下求导-8sinuc例2研究积分da在-8<u<+8上的一致收敛性α211解对任意的u,当≥1时,有1sinua22aα2+8da收敛，故由比较判别法知原积分关于u在实轴上一致收敛而积分a2返回全屏关闭退出5/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ~ 2 ïÄÈ© Z +∞ 1 sin ux x2 dx 3 −∞ < u < +∞ þÂñ5. ) é?¿ u, x > 1 , k sin ux x2 6 1 x2 , È© Z +∞ 1 dx x2 Âñ, d'O{È©'u u 3¢¶þÂñ. 5/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ