S2正交基教学目的掌握正交组、正交基、正交矩阵的概念，熟练掌握标准正交基的概念、作用、求法及其关系重点标准正交基的概念、作用、求法及其关系难点施密特正交化方法及应用教学过程引入解析几何中，我们常常选取3个正交单位向量构成直角坐标系，那么在n维欧氏空间中能否找到n个正交的单位向量构成“直角坐标系”呢？将“直角坐标系”用代数的语言叙述就是标准正交基问题一、标准正交基定义5欧氏空间V的一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组（orthogonalfamilles）按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个定义6在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基（orthogonalbasis）；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组(orthonormalbasis).对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基设8,82"",8,是一组标准正交基，由定义，有[1,当i=j;(1)(61,6,)=[o,当ij.显然，（1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即(2)α=(61,α)6, +(62,α)6, +...+(mα)8n在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设a=x6+x62+...+x,8n
§2 正交基 教学目的 掌握正交组、正交基、正交矩阵的概念，熟练掌握标准正交 基的概念、作用、求法及其关系. 重 点 标准正交基的概念、作用、求法及其关系. 难 点 施密特正交化方法及应用. 教学过程 引入 解析几何中，我们常常选取 3 个正交单位向量构成直角坐标系， 那么在 n 维欧氏空间中能否找到 n 个正交的单位向量构成“直角坐标系” 呢？将“直角坐标系”用代数的语言叙述就是标准正交基问题. 一、标准正交基 定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个 正交向量组（orthogonal familles）. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正 交的非零向量不能超过 n 个. 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基 （orthogonal basis）；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组(orthonormal basis ). 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设 n , , , 1 2 是一组标准正交基，由定义，有 = = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正 交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的， 根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在 n 维欧 氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n ( ,) ( ,) ( ,) = 1 1 + 2 2 ++ . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 . 1 1 2 2 n n = x + x ++ x
β=y6,+y262+...+y,en.那么(3)(α,β)=Xy +xy2 +..+xyn =XY.这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位二、规范正交基的存在性及其正交化方法定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基定理2对于n维欧氏空间中任意一组基6,62，,6,，都可以找到一组标准正交基n,2，使L(8),82,,8)= L(n,n2,",n), i=1,2,,n应该指出，定理中的要求L(81,82,,8))= L(ni,n2,*,n), i=1,2, ",n就相当于由基1,82，,8到基n,n2…,n的过渡矩阵是上三角形的定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特正交化过程（Schimidtorthogonalization）例 1 α, =(1,1,0,0),α2 =(1,0,1,0),α3 =(-1,0,0,1),α4 =(1,-1,-1,1)变成单位正交组三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式设,2,8与n2,n是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A=（α,），即
. 1 1 2 2 n n = y + y ++ y 那么 ( , ) . = x1 y1 + x2 y2 ++ xn yn = X Y (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了， 所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 二、规范正交基的存在性及其正交化方法 定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组 的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就 得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基. 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 n , , , 1 2 ，都可以找到一组 标准正交基 n , , , 1 2 ，使 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 应该指出，定理中的要求 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 就相当于由基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过渡矩阵是上三角形的. 定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些 书和文献中称为施密特正交化过程(Schimidt orthogonalization). 例 1 (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) 1 = 2 = 3 = − 4 = − − 变成单位正交组. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊 的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变 换公式. 设 n , , , 1 2 与 n , , , 1 2 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们 之间的过渡矩阵是 ( ) A = aij ，即
auai2aina21a22a2n(n1,n2,**.,nn)= (8),62,-,8n目:..anlan2ann...因为ni,n2n是标准正交基，所以[1,当i= j;(4)(n,n,) =[0,当ij矩阵A的各列就是n,n2,n在标准正交基61,62,8,下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为[1,当i=j;(5)ara,+aaa2,+...+anam[o当i+j(5)式相当于一个矩阵的等式A'A=E(6)或者A-" = A'定义7n组实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA=E由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基最后指出，根据逆矩阵的性质，由A'A=E即得AA'-E写出来就是(1,当i=j;(7)a,aj+a2aj2+.+anajn[0,当i](5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的例2考虑定义在闭区间[0,2元]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2元].函数组1,cosx,sin x,..,cosnx,sin nx
(1 ,2 , ,n ) = n n nn n n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 ( , , , ) 因为 n , , , 1 2 是标准正交基，所以 = = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (4) 矩阵 A 的各列就是 n , , , 1 2 在标准正交基 n , , , 1 2 下的坐标.按公式 (3),(4)式可以表示为 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j a ia j a ia j anianj 当 当 (5) (5)式相当于一个矩阵的等式 AA = E (6) 或者 A = A −1 定义 7 n 组实数矩阵 A 称为正交矩阵，如果 AA = E 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一 组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准 正交基. 最后指出，根据逆矩阵的性质，由 AA = E 即得 AA = E 写出来就是 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j ai a j ai a j ai na j n 当 当 (7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系 是等价的. 例 2 考虑定义在闭区间 [0, 2 ] 上一切连续函数所作成的欧氏空间 C[0,2 ].函数组 1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx,
构成C[0,2元]的一个正交组.把上面的每一向量除以它的长度，就得到C[0,2元]的一个标准正交组：11111Fsinx,-sin nx,....一cosx,cosnx,12元1元V元1元元例3欧氏空间R"的基(i), = (0,,, 1,0,,0), -1,2,..n是R"的一个标准正交基
构成 C[0,2 ] 的一个正交组. 把上面的每一向量除以它的长度,就得到 C[0,2 ] 的一个标准正交组: sin , . 1 cos , 1 sin , , 1 cos , 1 , 2 1 x x nx nx 例 3 欧氏空间 n R 的基 ） （ ） (0,,0, 1,0,,0 i i = , i = 1,2, ,n 是 n R 的一个标准正交基
$3同构教学目的掌握欧氏空间同构的定义，简单性质重点欧氏空间同构与线性空间同构的关系难点教学过程引入第六章我们讨论了线性空间的同构，简单说，保持线性运算的双射叫线性空间的同构，如果在欧氏空间中还保持内积运算，就可以称为欧氏空间的同构.定义8实数域R上欧氏空间V与V称为同构的，如果由V到V有一个双射，满足1)α(α + β)=(α) +α(β),2)(kα)= ko(α),3)(α(α),α(β)=(α, β),这里α,βeV,keR，这样的映射α称为V到V的同构映射（isomorphicmapping)由定义，如果α是欧氏空间V到V的一个同构映射，那么也是V到V作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数设V是一个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基8,82，,8,，在这组基下，V的每个向量α都可表成α=X6+X282+...+X,8n令0(α)=(X,X2,,x,)e R"就是V到R"的一个双射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，α也适合条件3)，因而α是V到R"的一个同构映射，由此可知，每个n维的欧氏空间都与R"同构同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性既然每个n维欧氏空间都与R"同构，按对称性与传递性得，任意两个n维欧氏空间都同构定理3两个有限维欧氏空间同构一它们的维数相等这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决
§3 同构 教学目的 掌握欧氏空间同构的定义，简单性质. 重 点 欧氏空间同构与线性空间同构的关系. 难 点 教学过程 引入 第六章我们讨论了线性空间的同构，简单说，保持线性运算的双 射叫线性空间的同构，如果在欧氏空间中还保持内积运算，就可以称为欧氏 空间的同构. 定义 8 实数域 R 上欧氏空间 V 与 V 称为同构的,如果由 V 到 V 有一个 双射 ，满足 1) ( + ) = () + ( ), 2) (k) = k () , 3) ( (), ( )) = (, ) , 这里 , V, k R ，这样的映射 称为 V 到 V 的同构映射（isomorphic mapping）. 由定义，如果 是欧氏空间 V 到 V 的一个同构映射，那么也是 V 到 V 作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数. 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中取一组标准正交基 n , , , 1 2 ，在这 组基下， V 的每个向量 都可表成 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 令 n () = (x1 , x2 , , xn ) R 就是 V 到 n R 的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明， 也 适合条件 3)，因而 是 V 到 n R 的一个同构映射，由此可知，每个 n 维的欧 氏空间都与 n R 同构. 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性. 既然每个 n 维欧氏空间都与 n R 同构，按对称性与传递性得，任意两个 n 维欧氏空间都同构. 定理 3 两个有限维欧氏空间同构 它们的维数相等. 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决