当0<a<1,由极限的除法运算,得到 lima′=lim Im →0 t→0+ 若t→0-,则令u=-t,于是 lim a= lim →0 l→)0 综合起来,得到lima=1,从而有lima=a。 →0 →
当0 1 < < a ，由极限的除法运算，得到 lim t→ +0 at = lim t→ +0 t a ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 1 1 0 1/ limt→ + = 1 1 t a⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ； 若t → −0 ，则令u t = − ，于是 lim t→ −0 t a = lim u→ +0 1 1 u a = 。 综合起来，得到lim t→0 1 t a = ，从而有 lim x x → 0 a x =a x0
连续函数的四则运算 设limf(x)=f(x0),limg(x)=g(x0),则 x→>x0 x→ (I)lim(af(x)+Bg(x))=af(x)+Bg(x)(a,B是常数) →x0 (Ⅱ)i(f(x)g(x)=f(x0)g(x0); f(x) f( Im x→x0g(x)g(x0) (g(x)≠0) 由上述运算法则,设有有限个函数在某区间连续,则它们之间进 行有限次加、减、乘、除四则运算,所得到的函数在该区间除去使分 母为零的点后余下的范围连续
连续函数的四则运算 设 lim x x → 0 f x( ) = f x( ) 0 ， lim x x → 0 g( ) x = g x( ) 0 ，则 (Ⅰ) lim x x → 0 (α f x( ) + β g( ) x )=α f x( ) 0 + β g x( ) 0 (α ，β 是常数)； (Ⅱ) lim x x → 0 ( f x( ) g( ) x )= f x( ) 0 g x( ) 0 ； (Ⅲ) lim x x → 0 f x g x ( ) ( ) = f x g x ( ) ( ) 0 0 ( 0 g x()0 ≠ )。 由上述运算法则，设有有限个函数在某区间连续，则它们之间进 行有限次加、减、乘、除四则运算，所得到的函数在该区间除去使分 母为零的点后余下的范围连续
例3.2.5对于常数函数f(x)=c与恒等函数g(x)=x,容易从定义 出发证明它们的连续性,然后由上述的连续函数的四则运算规则,可 以得到 (I)任意多项式p(x)=anx+anx4+…+a1x+a在(-∞,+0)上连续; ax+an+*…+ax+a在其定义域上 Ⅱ)任意有理函数O(3)bnx+bmx+…+bx+b 连续,即Q(x)在(-∞,+∞)去掉分母bnx+bn1xm-+…+bx+b的零点(至多 m个点)的范围连续
例3.2.5 对于常数函数 f ( ) x c = 与恒等函数 gx x ( ) = ，容易从定义 出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可 以得到 (Ⅰ) 任意多项式 1 1 10 ( ) n n n nn p x ax a x ax a − = + ++ + − " 在 −∞ +∞),( 上连续； (Ⅱ) 任意有理函数 1 1 10 1 1 10 ( ) n n n n m m m m ax a x ax a Q x b x b x bx b − − − − + ++ + = + ++ + " " 在其定义域上 连续，即Q( ) x 在 −∞ +∞),( 去掉分母b x b x bx b m m m m + ++ + − − 1 1 " 1 0的零点(至多 m 个点)的范围连续
例3.2.5对于常数函数f(x)=c与恒等函数g(x)=x,容易从定义 出发证明它们的连续性,然后由上述的连续函数的四则运算规则,可 以得到 (I)任意多项式p(x)=anx+an1x4+…+a1x+a在(-∞,+0)上连续; ax+an2x+…+ax+a在其定义域上 (H)在意有理函数(x)2bx+bm1x+…+bx+b 连续,即Q(x)在(-∞,+∞)去掉分母bnx+bn1xm-+…+bx+b的零点(至多 m个点)的范围连续。 例3.2.6证明了三角函数sinx与cosx的连续性,由连续函数的 四则运算规则,可知nx=x,sex=-1在其定义域 COSX COSX x1x∈R,x≠km+x,k∈Z}上连续 cotr cos x CSCX= 在其定义 sInx sin x 域{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}上连续
例3.2.6 证明了三角函数sin x 与cos x的连续性，由连续函数的 四则运算规则，可知tan x = sin cos x x ， 1 sec cos x x = 在其定义域 { π | π+ 2 xx x k k ∈R Z ， ， ≠ ∈ }上连续；cot x= cos sin xx ， 1 csc sin x x = 在其定义 域{ xx x k k | ∈R Z ， ， ≠ ∈ π }上连续。 例3.2.5 对于常数函数 f ( ) x c = 与恒等函数 gx x ( ) = ，容易从定义 出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可 以得到 (Ⅰ) 任意多项式 1 1 10 ( ) n n n nn p x ax a x ax a − = + ++ + − " 在 −∞ +∞),( 上连续； (Ⅱ) 任意有理函数 1 1 10 1 1 10 ( ) n n n n m m m m ax a x ax a Q x b x b x bx b − − − − + ++ + = + ++ + " " 在其定义域上 连续，即Q( ) x 在 −∞ +∞),( 去掉分母b x b x bx b m m m m + ++ + − − 1 1 " 1 0的零点(至多 m 个点)的范围连续