例3.2.2f(x)=x(1-x)在闭区间[0,1上连续。 证设x∈(0,1)是任意一点,令n=min{x0,1-x}>0,当x-x0kn时, x∈(0,1),因而 √x(1-x)-√x0(1-x0) (1-x)+√x0(1-x0) x(1-x0) 对任意给定的c>0,取δ=min{n,√x(1-x)},当x-xk6时,成 立 √x(1-x)-√x0(1-x)|< x-x0|<E, (1-x0) 所以f(x)=√x(1-x)在(0,1)上连续
例3.2.2 f x( ) = x x ( ) 1− 在闭区间[0,1]上连续。 证 设 0 x ∈(0,1)是任意一点，令η = min { x0 , 0 1− x } > 0，当 0 | | x x − <η 时， x∈(0,1)，因而 | x x ( ) 1− - x x 0 0 ( ) 1− | = | | () ( ) 1 1 1 0 0 0 − − −+ − x x xx x x | | x x − 0 0 0 1 x x (1 ) < − | | x x − 0 。 对任意给定的ε > 0，取δ = min {η， 0 0 x x (1 ) − ε ｝，当 0 | | x x − < δ 时，成 立 | x x ( ) 1− - x x 0 0 ( ) 1− | 0 0 1 x x (1 ) < − | | x x − 0 < ε ， 所以 f x( ) = x x ( ) 1− 在(0,1)上连续
现考虑区间的端点,对任意给定的E>0,取δ=2, 则当0≤x<δ时, f(x)-f(0)|√x<E; 而当-δ<x-1≤0时, (x)-f(1)k√1-x<E。 这说明f(x)在x=0右连续,在x=1左连续 由此得出f(x)=√x(1-x)在闭区间[,上连续
现考虑区间的端点，对任意给定的 ε > 0，取 2 δ = ε ， 则当 0 ≤ x < δ 时， | ( ) (0) | fx f x − ≤ < ε ； 而当 − δ < −≤ x 1 0时， | ( ) (1) | 1 fx f x − ≤ −< ε 。 这说明 f x( ) 在 x = 0右连续，在 x = 1左连续。 由此得出 f x( ) = x x ( ) 1 − 在闭区间[0,1]上连续
注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式: 设函数f(x)定义在某区间x上(X可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果vx∈X与vE>0,38>0,Wx∈X(x-xk<): f(x)-f(x)<E,则称函数f(x)在区间x上连续
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 xf )( 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果∀ ∈ Xx0 与∀ε > 0，∃δ > 0， ( ) xxXx 0 <−∈∀ δ ： )()( <− ε 0 xfxf ，则称函数 xf )( 在区间 X 上连续
注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式 设函数f(x)定义在某区间X上(x可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果vex与vE>0,38>0,x∈X(x-xo<8): J(x)-f(x)<E,则称函数(x)在区间x上连续。 例3.2.3f(x)=sinx在(0+∞)上连续。 证设 xo∈(-0+0 是任意一点,由于 x+ro: x-ro sin x-sin xo=2cos sin- ≤x-x0|, 2 2 对任意给定的g>0,取δ=E,当|x-xk6时,成立 Sinx-sin x x-x<8o 所以f(x)=sinx在(-+∞)上连续。 同样可以按定义证明∫(x)=cosx在(+∞)上连续
例3.2.3 f ( ) sin x x = 在 −∞ +∞),( 上连续。 证 设 x0 ∈ −∞ +∞),( 是任意一点，由于 | 0 sin sin x x − | = 0 0 2 cos sin 2 2 xx xx + − ≤ | | x x − 0 ， 对任意给定的ε > 0，取δ = ε ，当 0 | | x x − <δ 时，成立 | 0 sin sin x x − | 0 ≤| | x x − <ε 。 所以 f ( ) sin x x = 在 −∞ +∞),( 上连续。 同样可以按定义证明 f ( ) cos x x = 在 −∞ +∞),( 上连续。 注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 xf )( 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果∀ ∈ Xx0 与∀ε > 0，∃δ > 0， ( ) xxXx 0 <−∈∀ δ ： )()( <− ε 0 xfxf ，则称函数 xf )( 在区间 X 上连续
例3.2.4指数函数f(x)=a2(a>0a≠1)在(-∞+∞)上连续 证首先,对任意一点x0∈(-0+0),有 a-a0=a20(a Xo 所以证imax=a就归结为证lima=1 x→>x 若t→0+,则当a>1时,成立 1<a1 因lima=1,由极限的夹逼性,得到
例 3.2.4 指数函数 f x( ) =a x （a a > ≠ 0, 1）在 −∞ +∞),( 上连续。 证 首先，对任意一点x0 ∈ −∞ +∞),( ，有 x a − a x0 =a x0 ( 0 1 x x a − − )。 所以证 lim x x → 0 a x =a x0 就归结为证lim t→0 1 t a = 。 若t → +0 ，则当a >1时，成立 1 t < a ≤ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡t a 1 1 ， 因lim n→∞ 1 n a = ，由极限的夹逼性，得到 lim t→ +0 1 t a =