第一章集合与因数概念 第一章 (2)设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集 合,B为这个班学生的全体组成的集合 (3)设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是 等腰三角形 可以发现,在(1)中,集合A的任何一个元素都是集 合B的元素.这时我们说集合A与集合B有包含关系 2)中的集合A与集合B也有这种关系 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个 元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关 系,称集合A为集合B的子集( subset),记作 ACB(或B=A) 读作“A含于B”(或“B包含A”) 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集 图1.1-1 合,这种图称为ve图.这样,上述集合A和集合B的包 含关系,可以用图1.1-1表示 在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角 请你举出几个 形,因此,集合C、D都是由所有等腰三角形组成的集合 具有包含关系 即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素,同时,集 等关系的集合实 合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.这样,集合 D的元素与集合C的元素是一样的 我们可以用子集概念对两个集合的相等作进一步的数学 与实数中的结论 如果集合A是集合B的子集(AcB),且集合B是集 6“相类比,柴有什合A的子集(BCA),此时,集合A与集合B中的元素是 么体会? 一样的,因此,集合A与集合B相等,记作 如果集合ACB,但存在元素x∈B,且x∈A,我们称 集合A是集合B的真子集( proper subset),记作 例如,在(1)中,A≌B,但4∈B,且4∈A,所以集 合A是集合B的真子集 你能举出几个空集 的例子吗? 我们知道,方程x2+1=0没有实数根,所以,方程 x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素 我们把不含任何元素的集合叫做空集( empty set),记 为必,并规定:空集是任何集合的子集 通7
CHAPTER 高中课程标准实验教科书数学I 包含关系{a}二A与属于关系a∈A有什么区别?试结合实例作出解 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论 1)任何一个集合是它本身的子集,即 你还能得出哪些结论 ACA (2)对于集合A、B、C,如果AcB,且BC.那 ACC. 例3写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的 真子集, 解:集合{a,b)的所有子集为必,{a},{b),{a,b 真子集为,{a},(b )练习 写出集合{a,b,c}的所有子集 2.用适当的符号填空 ()0—xx=0) (3)(x∈R|x2+1=0}4 (4)(0,1)N; (5){0){x|x2=x1 x|x2-3x+2=0 3.判断下列两个集合之间的关系: 1)A=(1.2.41,B=(x1x是8的约数: (2)A={xx=3,k∈N},B={x|x=6z,z∈N) (3)A=(x|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N,} 8
第一集合与围数概念 第一章 113集合的基本运算 我们知道,实数有加法运算。典比实数的加法运算,集合是否也可以 考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗? (1)A=(1,3,51,B={2,4,6),C={1,2,3,4,5,6}; (2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={xx是实数} 在上述两个问题中,集合A、B与集合C之间都具有这 样一种关系:集合C是由所有属于集合A或属于集合B的 元素组成的 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组 成的集合,称为集合A与B的并集( uon set),记作AUB (读作“A并B"),即 AUB=(x|x∈A,或x∈B 可用Venn图1.1-2表示, 这样,在问题(1)(2)中,集合A与B的并集是C,即 AUB=C 例4设A=(4,5,6,8),B=(3,5,7,8),求 AUB ■9
CHAPTER 通高中课程标准实教科书数学1 解:AUB={4,5.6,8}U(3,5,7,8 在求两个集合 {3,4,5,6,7,8} 的并集时,它们的 公共元素在并集中 设集合A={x|-1<x<2},集合B={xl1< 元素5、8 AUB AUB={x|-1<x<2U{x1l<x<3} ={x|-1<r<3 我们还可以在数轴上表示例5中的并集AUB.如图 图1.13 求集合的并集是集合问的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗 交集 考察下面的问题,集合A、B与集合C之间有什么关 (1)A={2,4,6,8,10),B={3,5,8,12},C {8}; (2)A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学 B={x|x是新华中学2004年9月人学的高一年级同学 C={xx是新华中学2004年9月人学的高一年级女同学 我们看到,在上述问题中,集合C是由那些既属于集合 A且又属于集合B的所有元素组成的 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成 的集合,称为A与B的交集( intersection set),记作A∩B 读作“A交B”),即 圆110
第一集台与国数型念 第一章 A∩B={xx∈A,且x∈B 可用vemn图1.1-4表示 这样,在上述问题(1)(2)中,A∩B=C A={xx是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同 图1,1-4 求A∩B. 解:A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛 跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以,A∩B={x|x 是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同 例7设平面内直线l上点的集合为L,直线右上点 的集合为L:,试用集合的运算表示l1、l2的位置关系 解:平面内直线l,l2可能有三种位置关系,即相交于 一点,平行或重合 (1)直线l1、l2相交于一点P可表示为 L∩=《点P) (2)直线l1、l2平行可表示为 (3)直线l1、l2重合可表示为 补集 在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围 例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到 正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到 实数.在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充 在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.例如 方程(x-2)(x2-3)=0的解集,在有理数范围内只有一个 解2,即 x∈Q(x-2)(x2-3)=0)=(2 在实数范围内有三个解:2,3,-3,即 11