111集合的含义与表示 学和初中,我们已经接触过一些集合,例如,自然 数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3的解的集合,到 一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆),到一条线段 的两个端点距离相等的点的集合(即这条线段的垂直平分 那么,集合的含义是什么呢?我们再来看下面的一些例子 (1)1~20以内的所有质数 2)我国从1991-2003年的13年内所发射的所有人造 卫星 3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车 (4)2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国 (5)所有的正方形 (6)到直线l的距离等于定长d的所有的点 (7)方程x2+3x-2=0的所有实数根 (8)新华中学2004年9月入学的高一学生的全体 例(1)中,我们把1~20以内的每一个质数作为元素 这些元素的全体就组成一个集合;同样地,例(2)中,把 我国从1991~2003年的13年内发射的每一颗人造卫星作为 元素,这些元素的全体也组成一个集合 上面的例(3)到例(8)也都能组成集合吗?它们的元素分别是什么? 归纳总结这些例子,你能说出它们的共同特征吗
第一草集合与丽数框含 第一章 一般地。我们把研究对象统称为元( element),把 些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为) 定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定 集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 例如,“亚洲国家的首都”构成一个集合,北京,东京 新德里……在这个集合中,纽约、巴黎,伦敦……不在这个 集合中.“身材较高的人”不能构成集合,因为组成它的元 素是不确定的 一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合 中的元素是不重复出现的 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集 合是相等的 考 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由 1)大于3小于11的偶数 (2)我国的小河流 我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用 小写拉丁字母a,b.c,…表示集合中的元素 如果a是集合A的元素,就说a于( belong to)集合 A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不于 ( not belong to)集合A,记作a∈A 例如,我们用A表示“1~20以内的所有质数”组成的 集合,则有3∈A.4∈A,等等 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集) 记作N 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N或N 全体整数组成的集合称为整数集,记作Z 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q4 全体实数组成的集合称为实数集,记作R 从上面的例子看到,我们可以用自然语言描述一个集 合.除此之外,还可以用什么方式表示集合呢? 3
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书戴学 我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋},把“方程(x-1)(x+2 =0的所有实数根”组成的集合表示为(1,-2 像这样把集合的元素一一列举出来,并用花括号“)” 括起来表示集合的方法叫做列举法 例1用列举法表示下列集合 (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合 (3)由1~20以内的所有质数组成的集合 解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A.那 A=(0,1,2.3,4,5,6,7.8 由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无 关,因此集合A可以有不同的列举方法,例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2.1,0 (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么 0,1 (3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么 C={2,3,5,7,11,13,17,19 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗? 描述法 我们不能用列举法表示不等式x-7<3的解集,因为这 个集合中的元素是列举不完的,但是,我们可以用这个集合 中元素所具有的共同特征来描述 例如,不等式x-7<3的解集中所含元素的共同特征 是:x∈R,且x-7<3,即x<10.所以,我们可以把这个 集合表示为 D={x∈Rx<10
第一集合与数恒念 第一章 又如,任何一个奇数都可以表示为x=2k+1(k∈Z)的 形式,所以,我们可以把所有奇数的集合表示为 E={x∈Zx=2k+1,k∈Z 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述 法,具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的 般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写 出这个集合中元素所具有的共同特征, 例2试分别用列举法和描述法表示下列集合 (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合 (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合 解:(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条 件x2-2=0,因此,用描述法表示为 A={x∈R|x2-2=0 方程x2-2=0有两个实数根2,一√2,因此,用列举 法表示为 (2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z, 且10<x<20,因此,用描述法表示为 B={x∈Z10<x<20) 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16, 17,18.19,因此,用列举法表示为 B=(11,12,13,14,15,16,17,18,19} 要指出的是,如果从上下文的关系来看,x∈R、x∈Z 是明确的,那么x∈R、x∈Z可以省略,只写其元素x例 如,集合D={x∈Rx<10}也可表示为D=(xx<101:集 合E=(x∈Z|x=2+1,k∈Z)也可表示为E={x|x 5
CHAPTER 甜通高中课星标准实控教科书数学1 (1)结合上述实例,试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时 各自的特点和适用的对象 (2)自己举出几个集合的例子,并分别用自然语言、列举法和描迷法 表示出来 用符号“∈”或“”填空 1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则 中国A,美国A 印度A.英国A; )若A=(x|x2=x),则-1A (3)若B=(x|x2+x-6=0},则3B; 4)若C={x∈N1≤r10),则8_C,9.1 试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程x2-9=0的实数根组成的集合 2)由小于8的所有质数组成的集合 (3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合 (4)不等式4x-5<3的解集 112集合间的基本关系 实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3,等等。类比实数 之同的关系,你会想到集合之间的什么关系? 观察下面几个例子,你能发现两个集合间的关系吗? (1)A=(1,2,3},B=(1,2,3,4,5