知识点三两个空间向量的数量积的性质向垂直若a，b是非零向量，则a上b台a·b=0量同向：则a·b=al·b共线数量反向：则αb=一lal·balalcos<a, a)=[al2aa=积的性质模Ja|=Va:aa.b|≤|al:barb[alb]夹角为a，b的夹角，则cosθ=
知识点三 两个空间向量的数量积的性质 向 量 数 量 积 的 性 质 垂直 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则 a·b＝|a|·|b| 反向：则 a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝_＝|a| 2 |a|＝ a·a |a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为 a，b 的夹角，则 cos θ＝_ |a||a|cos 〈a，a〉 a·b |a||b|
对点练习：2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且a=b=1，a·b=，则两直线的夹角为()2C. 120°D. 150°A:30°B. 60°1a·b所以解析：设向量a，b的夹角为θ，则cosQ2'[a|b]0=120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°一120°=60°答案：B
对点练习： 2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b| ＝1，a·b＝－ ，则两直线的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 2 1 解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，则 cosθ＝ a·b |a||b|＝－ 1 2，所以 θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为 180°－120°＝60°. 答案：B
3．若α，b均为非零向量，则α·b=lalbl是a与b共线的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：若ab=lalbl，则<a，b）0°，所以a与b共线；反之，若与b共线，则<a，b）=0°或180°，a·b=±abl.故选A答案：A
3．若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：若 a·b＝|a||b|，则〈a，b〉＝0°，所以 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线，则〈a，b〉＝0°或 180°，a·b＝±|a||b|.故选 A. 答案：A
4.已知al=3，b=2，ab=一3，则<a，b解析：因为lal=3，[bl=2，ab=一3,-3a.b1所以cos <a, b)2'[al|b]3X22元《a，b）E[0，元]，所以《a，b)又因为3 2元答案:3
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝_. 解析：因为|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3， 所以 cos〈a，b〉＝ a·b |a||b|＝ －3 3×2 ＝－ 1 2， 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π 3 . 答案：2π 3