《高等数学》课程教学资源（书籍教材）高等数学学习辅导——石油大学

第二章导数与微分且F'(x)= f'[g(x)]-g'(xo)反函数求若x=β(y)在区间I,内单调、可导且β(y)0，且其反函数y=f(x)在I导1内也可导且f(x)=p'(y)隐函数求由F(x,J)=0所确定的函数y=(x)，称y是x的隐函数。求导时只要对导F(x,y)=0求导即可。要注意y是x的函数，最后整理出y=g(x,y)对数求导某些函数（幂指数或连乘式）求导，不需要显式直接求导，可先两边同时取对数，化成隐函数，再求导参数方程[x= p(0) 在(α,β)上连续可导且β()≠0，则参数方式确定的函数求导设(y=y(t)=()]可导)dxp'(t)关于求导的基本公式参见教材三例题分析()=A，其中A为常数，则F‘(xo)例1.已知函数f(x)在x=x。处连续，且lim+0x-Xo是否存在，若存在求之。解： (t)在x=x。处连续: im (x)= (co): lim (n)= im /()(x-x)=0+x-X0(x)- f(xo) = lim -()=A，."(x)存在且等于A.. f(xo)=0, . f'(x)= limx-Xo0x-X总结：求函数f(x)在某点的导数值，既可用求导公式又可利用导数的定义求，如果不知f(x)的具体表达式，则可考虑用定义求。有些条件隐含于题设条件中，需利用已知条件的内在联系去发掘。f(a + ah)- f(a- βh) =(α + β)f(a)例2.设f(x）在x=α处可导，试证：inhf(a+ αh)- f(a- βh)证明：limh→[f(a+αh)-f(a)]-[f(a-βh)-f(a)]limN28

第二章导数与微分 28 且 ( ) [ ( )] ( ) 0 / 0 / 0 / F x = f g x ⋅ g x 反函数求 导 若 x = ϕ( y) 在区间 y I 内单调、可导且 ( ) 0 / ϕ y ≠ ，且其反函数 y = f (x)在 x I 内也可导且 ( ) 1 ( ) / / y f x ϕ = 隐函数求 导 由 F(x, y) = 0 所确定的函数 y = y(x) ，称 y 是 x 的隐函数。求导时只要对 F(x, y) = 0求导即可。要注意 y 是 x 的函数，最后整理出 ( , ) / y = g x y 对数求导 某些函数（幂指数或连乘式）求导，不需要显式直接求导，可先两边同时取 对数，化成隐函数，再求导 参数方程 求导 设 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y t x t ψ ϕ 在 (α, β ) 上连续可导且 ( ) 0 / ϕ t ≠ ，则参数方式确定的函数 [ ( )] 1 y x − =ψ ϕ 可导 ( ) ( ) / / t t dx dy ϕ ψ = 关于求导的基本公式参见教材 三 例题分析 例 1．已知函数 f (x) 在 0 x = x 处连续，且 A x x f x x x = → − 0 ( ) lim0 ，其中 A 为常数，则 ( ) 0 / f x 是否存在，若存在求之。 解： ∵ f (x) 在 0 x = x 处连续 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ∴ = → ( ) 0 ( ) lim ( ) lim 0 0 0 0 − = − = → → x x x x f x f x x x x x ∵ ∴ f (x0 ) = 0 ， A x x f x x x f x f x f x x x x x = − = − − ∴ = → → 0 0 0 0 / ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim0 0 ， ( ) 0 / ∴ f x 存在且等于 A 总结：求函数 f (x) 在某点的导数值，既可用求导公式又可利用导数的定义求，如果不知 f (x) 的具体表达式，则可考虑用定义求。有些条件隐含于题设条件中，需利用已知条件的 内在联系去发掘。 例 2．设 f (x) 在 x = a 处可导，试证： ( ) ( ) ( ) ( ) lim / 0 f a h f a h f a h h α β α β = + + − − → 证明： h f a h f a h h ( ) ( ) lim 0 +α − − β → = h f a h f a f a h f a h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + − − − − → α β

第二章导数与微分[α[f(a+ah)-f(a)) ,β[f(a-βh)-f(a)=limαhβhh→0=of'(a) + βf'(a)=(α+β)f'(a)总结：这里不能用求f(x)的导函数的方法来求f(a)，因为f(x)只在x=a处可导，所以只能用定义求，此题的结论可直接应用，但要注意α=0时也适用。例3.设f(x)=a+x+a+x求f(x)解：(a")'=a"Ina-a"lna=a"**(lna)",(x")=a"x"-l(a")'=a" Ina-a-xa-l =a**xa- na令1=x*则lnt=xlnx，两边对x求导得=.t'=lnx+1，t=x*(lnx+1):. f'(x)=aa+(lna)?+a"xa-I +ar"+xa-l Ina+x*(lnx+1)x例4. f(x)=，求f(n)(x)1-x解:(t)--+--(r*++1)+1- xn!当n>3时，f(m(x)=(1 x)*+I总结：求f(x)的n阶导数时，如果f(x)为分式，可考虑对分子或分母因式分解，将其拆为简单的分式，并应用数学归纳法求解。例5.y=sinx+cosx，求y(n)1-cos4x31解：y=(sin2x+cosx)?-2sin2xcos?x=l-sin22xcos4x4442y(n)=1ng)= 4rl cos(4x+)×4"cos(4x+n422总结：由cos"mx.sin"mxm.n为自然数）的差、和、积所构成的函数，进行求高阶导数时，一般利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次幂逐次降低，最后变为coskx,sinkx之和（差）的形式，应用已有公式进行高阶求导。例6.求f(x)=x2In(1+x)在x=0处的n阶导数f()(0)，n≥3解：由莱布尼兹公式29

第二章导数与微分 29 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + + − → h f a h f a h f a h f a h β β β α α[ ( α ) ( )] [ ( ) ( ) lim 0 = ( ) ( ) / / αf a + βf a = ( ) ( ) / α + β f a 总结：这里不能用求 f (x) 的导函数的方法来求 ( ) / f a ，因为 f (x) 只在 x = a 处可导，所以 只能用定义求，此题的结论可直接应用，但要注意 a = 0 时也适用。 例 3．设 a a x x f x a x a x x a a ( ) = + + + 求 ( ) / f x 解： / 2 (a ) a ln a a ln a a (ln a) a a x a x x x x + = ⋅ = ， / 1 ( ) − = a a a a a x a x a a a a x a x a x x a x a a a a ( ) ln ln / −1 +1 −1 = ⋅ ⋅ = 令 x t = x 则ln t = x ln x ，两边对 x 求导得 ln 1 1 / ⋅t = x + t ， (ln 1) / t = x x + x ( ) (ln ) ln (ln 1) / 2 1 1 1 ∴ = + + + + + − + − f x a a a x a x a x x a x a a x a x x a a 例 4． x x f x − = 1 ( ) 3 ，求 ( ) ( ) f x n 解： x x x x x f x − = − + + + − − + = 1 1 ( 1) 1 1 1 ( ) 2 3 当 n > 3时， 1 ( ) (1 ) ! ( ) + − = n n x n f x 总结：求 f (x) 的 n 阶导数时，如果 f (x) 为分式，可考虑对分子或分母因式分解，将其拆 为简单的分式，并应用数学归纳法求解。 例 5． y x x 4 4 = sin + cos ，求 (n) y 解： y x x x x 2 2 2 2 2 = (sin + cos ) − 2sin cos = sin 2x 2 1 1 2 − = 4 1 cos 4 1 − x − = cos 4x 4 1 4 3 + ) 2 4 cos(4 4 ( ) 1 π y x n n n = × + ) 2 4 cos(4 1 nπ x n = + − 总结：由 mx mx m n n n cos ,sin ( , 为自然数）的差、和、积所构成的函数，进行求高阶导数时， 一般利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次幂逐次降低，最后变为cos kx,sin kx 之和（差）的形式，应用已有公式进行高阶求导。 例 6．求 ( ) ln(1 ) 2 f x = x + x 在 x = 0处的 n 阶导数 (0) (n) f ， n ≥ 3 解： 由莱布尼兹公式

第二章导数与微分(uw)(") = u"),(n) +C,u(n-l), +..+ u(0),(n)[1n(1+ x)]() _ (-1)(-"(k -1)!（k为正整数）(1 + x)k(0) -(-1)l(-/+ m(-1)-(m-2) + (n-1(-1)(n-3)!(1+ x)"-1(1 + x)"-2(1+ x)" (0) =(-1)- n(n-1)(n- 3) = (-1)nn-2总结：具有n阶可导的两个因子乘积的函数的n阶导数可用莱氏公式处理，但此办法不常用，一般应用直接法如例4，或间接法如例5，来求得函数的高阶导数。[ e* = 3t? +2t +1爽例7.设y=(x)由参数方程所确定，元=0tsiny-y+dxt=2解：参数方程两端关于1分别求导，得：dxet dr= 2e* (31 + 1)= 6t + 2dtdt即dydydysiny= 0+sin ytcosydt1-tcosydtdtd贵e' sin ydx2(3t + 1)(1- tcos y)元专·所以1当t=0时，x=0,y=-dx=0 ~ 2总结：此题既有参数方程的求导，又包含隐函数求导，而对隐函数求导方法有三种：1①方程两边对x求导，注意y是x的函数，例如-ylnye"都是x的复合函数y②直接代公式，由F(x,y)=0，知dy--F'(x,y)dxF'(x,y)其中F'(x,y)及F'(x,y)表示F(x,y)对x和y的偏导数③利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后求出会drx= acos t例8.求参数方程的二阶微分ly=asinx30

第二章导数与微分 30 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) / (0) ( ) ( ) n n n n n n uv = u v + C u v + + u v − " [ ] ( )k k k x k x + − − + = − 1 ( 1) ( 1)! ln(1 ) ( 1) ( ) ，（k 为正整数） 2 3 1 2 1 2 ( ) (1 ) ( 1)( 1) ( 3)! (1 ) 2 ( 1) ( 2)! (1 ) ( 1) ( 1)! ( ) − − − − − + − − − + + − − + + − − = n n n n n n n x n n n x nx n x x n f x (0) ( 1) ( 1)( 3)! ( ) 3 = − − − − f n n n n n 2 ( 1) ! 1 − − = − n n n 总结：具有n 阶可导的两个因子乘积的函数的 n 阶导数可用莱氏公式处理，但此办法不常用， 一般应用直接法如例 4，或间接法如例 5，来求得函数的高阶导数。 例 7．设 y = y(x) 由参数方程 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = = + + 0 2 sin 3 2 1 2 π t y y e t t x 所确定，求 dx t=0 dy 。 解： 参数方程两端关于t 分别求导，得： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = = + cos sin 0 6 2 dt dy y dt dy t y t dt dx ex 即 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = = + − t y y dt dy e t dt dx x 1 cos sin 2 3 1 2(3 1)(1 cos ) sin t t y e y dx dy x dt dx dt dy + − ∴ = = 当t = 0 时， 2 0, π x = y = ，所以 2 1 0 = dx t= dy 总结：此题既有参数方程的求导，又包含隐函数求导，而对隐函数求导方法有三种： ○1 方程两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，例如 y y y e y , ,ln , 1 2 都是 x 的复合函数 ○2 直接代公式，由 F(x, y) = 0，知 ( , ) ( , ) / / F x y F x y dx dy y x = − 其中 ( , ) / F x y x 及 ( , ) / F x y y 表示 F(x, y) 对 x 和 y 的偏导数 ○3 利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后求出 dx dy 例 8．求参数方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = y a x x a t 3 3 sin cos 的二阶微分

第二章导数与微分dy_l-3asin?tcost解：-tant,dxdyla3acostsintdyd (dy)dt11-sec?tdx?dx(dxdx-3acos?tsint3acosttsint1-dx?Bacostsint总结：在对参数方程进行二次求导时，一定要先求y对x的一阶导数，再对一阶导数的结果继续求二阶导，并且在此过程中再次应用复合函数求导法则和反函数求导法则，把参数t看成x的函数。例9.设y=f(lnx)e(x)，其中f(x)可微，则求dy解: '= J'(Inx)(nx)e() +f(lnx)e()]'(x)=e([ f'(Inx)+ f'(x)f(lnx)=dy=e/[1(In x)+ I'(x)(lnx)]axr'sinx>0 在(-8,+o)内的连续性与可导性，并求 I(x)。例10.讨论f(x)=4x≤0解：连续性1°x≠0时f(x)为(-00)(0,+o)的初等函数，所以f(x)当x≠0时，每一点都连续2°x=0时f(x)=0(0-)=lim (x)=limx = 0= f(0)(0*)=lim (x)=limx'sin=0= (0)?Xnr：F(x)在x=0点连续综上所述，VxE(-0,+o),f(x)连续可导性I x>0时 f'(x)=(x sin) = x’ cos(-)+2xsin↓=-cos++2xsin2° x<0时 f' (x)=(x) =3x231

第二章导数与微分 31 解： t a t t a t t dx dy dt dx dt dy tan 3 cos sin 3 sin cos 2 2 = − − = = ， dx dt dx dy dx d dx d y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 a t t t 3 cos sin 1 sec 2 2 − = − ⋅ 3a cos tsin t 1 4 = ， 2 4 2 3 cos sin 1 dx a t t d y = 总结：在对参数方程进行二次求导时，一定要先求 y 对 x 的一阶导数，再对一阶导数的结果 继续求二阶导，并且在此过程中再次应用复合函数求导法则和反函数求导法则，把参数t 看 成 x 的函数。 例 9．设 ( ) (ln ) f x y = f x e ，其中 f (x) 可微，则求dy 解： (ln )(ln ) (ln ) ( ) / / / ( ) ( ) / y f x x e f x e f x f x f x = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = (ln ) + ( ) (ln ) ( ) 1 / / f x f x f x x e f x f x f x f x dx x dy e f x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ = (ln ) + ( ) (ln ) ( ) 1 / / 例 10．讨论 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = 0 0 1 sin ( ) 3 2 x x x x x f x 在(− ∞,+∞) 内的连续性与可导性，并求 ( ) / f x 。 解： 连续性 ° 1 x ≠ 0时 f (x) 为(− ∞,0) (, 0,+∞)的初等函数，所以 f (x) 当 x ≠ 0 时，每一点都连续 ° 2 x = 0 时 f (x) ＝0 (0 ) ( ) 0 (0) 3 0 0 f lim f x limx f x x = = = = → − → − − 0 (0) 1 (0 ) ( ) sin 2 0 0 lim lim f x f f x x x x = = = = → + → + + ∴ f (x) 在 x = 0 点连续 综上所述，∀x ∈(−∞,+∞), f (x) 连续 可导性 ° 1 x > 0 时 x x x x x f x x x 1 2 / 2 1 / 2 1 ) 2 sin 1 ( ) = ( sin ) = cos (− + ＝ x x x 1 1 − cos + 2 sin ° 2 x < 0 时 / 3 / 2 f (x) = (x ) = 3x

第二章导数与微分x3-03 x=0时 J(0)= lim (x)- f(0)1limx-0x-0r->0X→0xsin↓-0f(x)-f(0)0 = 0 : f(0)= f'(0)= f(0)f(0)=limlimx-0x-0-0x0*-cos1+2xsinx>0综上所述f(x)在(-0,+)每点可导,其导数为f'(x)=0x=0[3x2x<o总结：注意讨论分段函数的可导性时，分界点的导数一定用定义求；当讨论分段函数的连续性时要注意讨论f(x）在分界点的极限是否等于该函数在分界点的函数值。er2x≤1例11.设f(x)=间a,b取何值时f'(1)存在ax+bx>1解：：f(1)存在：f(x)在x=1处连续.. lim f(x)= lim er*=e=f(1)x→1lim f(x)= lim(ax+b)=a+b..a+b=e又f(x)在x=1处可导f(x)- f(l)f'(0)= lim =limelimx-1x-→1*1x2-1=elim=2ex-11f(x)- f()ax+ b-(a+b)ax+b-ef'(1)= lim limlimE0x-1Nx-1x-1x-1X-→1..a= 2e,b=-e.a=2e,b=-e时，f'()存在四。 练习题1.是非题判断下列各题方法是否正确，若不正确请给出正确的解法(1)设f(x)=/xsinx求f'(O)f'(x)=sinx+xtcosx3天"()无意义.f"(0)不存在32

第二章导数与微分 32 ° 3 x = 0 时 0 0 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 3 0 0 / = − − = − − = − → − → − x x x f x f f x x 0 0 sin 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 2 1 0 0 / = − − = − − = + → + → + x x x f x f f x x x (0) (0) (0) / / / ∴ f = f = f − + 综上所述 f (x) 在(− ∞,+∞)每点可导，其导数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < = − + > = 3 0 0 0 cos 2 sin 0 ( ) 2 1 1 / x x x x x f x x x 总结：注意讨论分段函数的可导性时，分界点的导数一定用定义求；当讨论分段函数的连续 性时要注意讨论 f (x) 在分界点的极限是否等于该函数在分界点的函数值。 例 11． 设 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + > ≤ = 1 1 ( ) 2 ax b x e x f x x 问 a,b 取何值时 (1) / f 存在 解： ∵ f / (1)存在∴ f (x)在x = 1处连续 f x ax b a b f x e e f x x x x x = + = + ∴ = = = + + − − → → → → lim ( ) lim( ) lim ( ) lim (1) 1 1 1 1 2 e x x e x e e x e e x f x f f f x x a b e x x x x x x 2 1 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 ( ) (1) (1) lim ( ) 1 2 1 1 1 1 1 / 2 2 = − − = − − = − − = − − = = ∴ + = − − − − → − → → → − 又 在 处可导 a x ax b a b x ax b e x f x f f x x x = − + − + = − + − = − − = + → + → + → + 1 ( ) lim 1 lim 1 ( ) (1) (1) lim 1 1 1 / 2 , 时， (1)存在 2 , / a e b e f a e b e ∴ = = − ∴ = = − 四．练习题 1．是非题 判断下列各题方法是否正确，若不正确请给出正确的解法 （1） ( ) sin (0) 3 / 设 f x = x x 求f ( ) 无意义 (0)不存在 ( ) sin cos / 0 / 3 / 1 3 1 3 2 f x f f x x x x x x ∴ = + =