第一章函数与极限31！将u换为x，与已知等式联立）4. 1. J(x)=（提示：令X=8xV(3) 6(2)2. (1) 0（4）1（提示：考虑左、右极限）25(6) 3（5）20（提示：利用夹逼准则）24. -23.a（提示：利用单调有界准则）5. n=26.x=0为可去间断点，x=1为跳跃间断点，x=2k(k=±1,±2）为无穷间断点，其余点处处连续7.利用闭区间上连续函数的最大最小值定理和介值定理五、自测题1.填空题（将答案填在各题的横线上）(1) 已知f(x)= sin x,J[o(x))=1-x2,则p(x)=的定义域为(2) lim (1+ x)(1+ x2)-.-(1+ x2") =（3）若当x→0时，e-（ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则a=b=sin2x+e2ax-1x±0在(-80,+)上连续，则α=(4)若f(x)=0ax=0n 1990（5）已知lim=A(+0,±80)，则 A=,k="n*-(n-1)k2.选择题（1）下列命题中正确的是（）（A）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（B）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷量（C）两无穷大量的和仍为无穷大量（D）两无穷大量的差为零（2）设x→0时，etan-e*是与x"同阶的无穷小，则n为（）(A)1(B)2(C)3(D)4(3）设对任意的x，总有p(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)-(x))=0，则lim f(x)（）（A）存在且一定等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在(D）不一定存在1（4）设函数(x)=一在(-,+)内连续，且lim (x)=0，则常数a,b满足（）ateb(A)a<0,b<0(B)a>0.b>0(C)a≤0,b>0(D)a≥0,b<0(5）设(x)和p(x)在(-c0,+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)±0，p(x)有间23
第一章 函数与极限 4．1． x f x x 8 1 8 3 ( ) = − （提示：令 u x 1 = 将u 换为 x ，与已知等式联立） 2．（1）0 （2） 2 1 （3） 5 6 （4）1（提示：考虑左、右极限） （5）20（提示：利用夹逼准则） （6） 2 3 3． a （提示：利用单调有界准则） 4．-2 5． n = 2 6． x = 0 为可去间断点， x = 1 为跳跃间断点， x = 2k (k = ±1,±2") 为无穷间断点，其余 点处处连续 7．利用闭区间上连续函数的最大最小值定理和介值定理 五．自测题 1．填空题（将答案填在各题的横线上） （1）已知 f ( x) = sin x, f [ ] ϕ ( x) = 1 − x 2 ，则ϕ ( x) = 的定义域为 （2） + + + = → +∞ lim (1 )(1 ) (1 ) 2 2 n x x x n " （3）若当 x → 0 时， ( 2 1) 是比 高阶的无穷小，则 2 e − ax + bx + x 2 x a = b = （4）若 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + − = 0 0 sin 2 1 ( ) 2 a x x a x e f x ax 在(− ∞,+∞ )上连续，则 a = （5）已知 ( 0, ) ( 1) lim 1990 = ≠ ≠ ∞ → ∞ − − A n n n k k n ，则 A = ，k = 2．选择题 （1）下列命题中正确的是（ ） （A）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （B）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷量 （C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零 （2）设 x → 0 时，e tan x − e x 是与 x n 同阶的无穷小，则 n 为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）设对任意的 x ，总有ϕ ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x) ，且 lim [ ( ) − ( )] = 0 →∞ g x x x ϕ ， 则 lim f ( x) （ ） x→∞ （A）存在且一定等于零 （B）存在但不一定为零 （C）一定不存在 （D）不一定存在 （4）设函数 bx a e x f x + ( ) = 在(− ∞,+∞ )内连续，且 lim ( ) = 0 → −∞ f x x ，则常数a, b 满足（ ） （A） a < 0, b < 0 （B） a > 0, b > 0 （C）a ≤ 0, b > 0 （D） a ≥ 0, b < 0 （5）设 f ( x) 和ϕ ( x) 在(− ∞,+∞ )内有定义， f ( x) 为连续函数，且 f ( x) ≠ 0 ，ϕ ( x) 有间 23
第一章函数与极限断点，则（）（A）[F(x)必有间断点（B）[(x)]必有间断点(D）9()必有间断点(C）[p(x)必有间断点f(x)3.主观题(1）已知f(x)=e,[p(x))=1-x,(x)≥0，求(x)并写出它的定义域x' sin !(x + a)*+a (x + b)*+bX和lim（2）求极限lim→0 sin x |(x +a+ b)2x+a+b（3）求极限lim(2sinx+e*）(4）求a,b，使当x→-o时，f(x)=x2-4x+5-(ax+b)为无穷小Vx?-1-8<x<-1(5) 设f(g)=bx=-1试确定a,b的值，使f(x)在-1<x≤1a+arccosxx=-1处连续-在(0,2元)内的间断点，并判断其类型(6）求函数f(x)=(1+x)a（7）设f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)，证明：对自然数n≥2必有(0,1)，使得1F(E)= F(5 +n答案与提示1. (1) arcsin(1-x2),-/2≤ x≤ /2;1≥/<11-xμ>或x=1 ;(2)(4) -2 ;80(3)a=lb=0:0x =-11(5)k=1991A:1991(2) C(3) D(4) D(5) D2. (1)A(2) 0, e-(a+b);(3) e:3. (1) p(x)=/In(1-x),x≤0 :元357（4）a=-1,b=2；（5）a=-元,b=0；（6）间断点为x44424
第一章 函数与极限 断点，则（ ） （A）ϕ[ f ( x)] 必有间断点 （B） 必有间断点 2 [ϕ ( x)] （C） f [ϕ ( x)] 必有间断点 （D） ( ) ( ) f x ϕ x 必有间断点 3．主观题 （1）已知 ( ) , [ ] ( ) 1 , ( ) 0 ，求 2 f x = e f x = − x x ≥ x ϕ ϕ ϕ ( x) 并写出它的定义域 （2）求极限 | sin | 1 sin lim 2 0 x x x x→ 和 x a b x a x b x x a b x a x b + + + + → +∞ + + + + 2 ( ) ( ) ( ) lim （3）求极限 ( )x x x x e 2 0 lim 2 sin + → （4）求a, b ，使当 x → −∞ 时， f ( x) = x − 4 x + 5 − (ax + b 2 )为无穷小 （5）设 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + − < ≤ = − − − ∞ < < − = arccos 1 1 1 1 1 2 a x x b x x x f x 试确定 a, b 的值，使 f ( x) 在 x = −1 处连续 （6）求函数 ) 4 tan( ( ) (1 ) π − = + x x f x x 在(0,2π )内的间断点，并判断其类型 （7）设 f ( x) 在[0,1]上连续， f (0) = f (1) ，证明：对自然数 n ≥ 2 必有ξ ∈ (0,1)，使得 ) 1 ( ) ( n f ξ = f ξ + 答案与提示 1.（1）arcsin( 1 ), 2 2 2 − x − ≤ x ≤ ； （2） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∞ > = < − 0 1 1 1 1 1 1 x x x x x 或 ； （3）a = 1, b = 0 ； （4）− 2 ； （5） 1991 1 A = ， k = 1991 2．（1）A （2）C （3）D （4）D （5）D 3．（1）ϕ ( x) = ln(1 − x), x ≤ 0 ； （2）0 ，e − ( a +b ) ； （3）e 6 ； （4）a = −1, b = 2 ；（5）a = −π , b = 0 ；（6）间断点为 π π π π 4 7 , 4 5 , 4 3 , 4 x = 24
第一章函数与极限3-75其中x=，号为第二类间断点，=号一7为第一类可去间断点41(7）提示：令F()=f(x)-(x+)，考虑区间0.1-利用连续函数的介值定理nn25
第一章 函数与极限 其中 π π 4 5 , 4 x = 为第二类间断点， π π 4 7 , 4 3 x = 为第一类可去间断点 （7）提示：令 ) 1 ( ) ( ) ( n F x = f x − f x + ，考虑区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − n 1 0,1 ，利用连续函数的介值定理 25
第二章导数与微分第二章导数与微分二主要内容大纲要求1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系；2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用；了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数；3.34.会求分段函数的一阶，二阶导数；5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶，二阶导数，会求反函数的导数基本概念表2·1-1导数的概念名称定义f(xo +Ax)- f(xo)Ay设f(x）在x。的某邻域内有定义，如果limlim函数f(x）在xArAr-0 △rAr-0点可导存在，则函数f(x)在x。点可导f(x)在xo点的(x。+Ax)-J(x)存在，则此极限为(x)在xo点的左导数如果 limAx4r→0左导数f(x)在xo点的f(xo +Ax)- f(xo)如果lim存在，则此极限为f(x)在x。点的右导数AxAr→0右导数f(x)在(a,b)上如果f(x)在(a.b)上每一点都可导，则f(x)在(a.b)上可导可导f(x)在[a,b]上若f(x）在（a,b)内可导且f'(a)及f(b)都存在，则f(x）在[a,bl上可导可导高阶导数如果f(x)的导函数f'(αx)在x处可导，则f'(x)在x处的导数为f(x)在f'(x+Ar)-I'(α) 而x处的二阶导数，记为f"(x)=limArf(n-l (x+Ar)- f(n-l)(x)r(n) (x) = limAxY26
第二章导数与微分 26 第二章 导数与微分 二 主要内容 一 大纲要求 1. 理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线和法线方程,了解导数 的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系; 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式,了解微分 的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算中的应用; 3. 了解高阶导数的概念,会求简单的 n 阶导数; 4. 会求分段函数的一阶,二阶导数; 5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶,二阶导数,会求反函数的导数. 二 基本概念 表 2 ⋅1⋅1导数的概念 名称 定义 函数 f (x) 在 0 x 点可导 设 f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，如果 x f x x f x x y x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则函数 f (x) 在 0 x 点可导 f (x) 在 0 x 点的 左导数 如果 x f x x f x x ∆ + ∆ − → − ∆ ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则此极限为 f (x) 在 0 x 点的左导数 f (x) 在 0 x 点的 右导数 如果 x f x x f x x ∆ + ∆ − → + ∆ ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则此极限为 f (x) 在 0 x 点的右导数 f (x) 在 (a,b) 上 可导 如果 f (x) 在(a,b)上每一点都可导，则 f (x) 在(a,b)上可导 f (x) 在 [a,b] 上 可导 若 f (x) 在(a,b)内可导且 ( ) / f + a 及 ( ) / f − b 都存在，则 f (x) 在[a,b]上可导 高阶导数 如果 f (x) 的导函数 ( ) / f x 在 x 处可导，则 ( ) / f x 在 x 处的导数为 f (x) 在 x 处的二阶导数，记为 x f x x f x f x x ∆ + ∆ − = ∆ → ( ) ( ) ( ) lim / / 0 // 而 x f x x f x f x n n x n ∆ + ∆ − = − − ∆ → ( ) ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 ( )
第二章导数与微分表2·1-2微分的概念定义几何意义y=f(x)在xo处的微分若f(x)在x处的某一邻域内有定义当自变量在x处取得增量Ax时，Ay可表示为Ay=AAr+α,A是与dy=f'(xo)dx是曲线y=f(x)在Ar无关的量，α是当Ax→0时比Ax高阶的无穷P(xo,f(x))处的切线的纵坐标增量小，则A△x为f(x)在x处的微分，记为dy或df(x），dy=AAx则称y=f(x)在x处可微2.基本性质与公式表2-2-1基本性质序号名称内容f(x）存在的充f'(xo)=f'(xo)要条件函数可导与连续2可导必连续，连续不一定可导的关系可导与可微的关3可导必可微反之亦然系4一阶微分形式的若y=f(u),u=u(x）皆可微，则复合函数可微，且不变性dy = f'(u)du表2·2·2求导法则法则公式或定理四则运算设f(x)，g(x)在x可导，则(1) [f(x)±g(x)} = f'(x)±g'(x)(2) [f(x) g(x) = (x)·g(x)+ f(x)·g'(x)f(x[r'(x)g(x)- f(x)g'(x)(3)/1g (x)8(x)* 0g(x)复合函数设f(uo）与g(xo)存在，uo=g(xo），则F(x)=f[g(x))在xo点可导，求导27
第二章导数与微分 27 表 2 ⋅1⋅ 2 微分的概念 定义 几何意义 若 f (x) 在 x 处的某一邻域内有定义当自变量在 x 处 取得增量 ∆x 时，∆y 可表示为 ∆y = A∆x +α, A是与 ∆x 无关的量，α 是当 ∆x → 0 时比 ∆x 高阶的无穷 小，则 A∆x 为 f (x) 在 x 处的微分，记为 dy 或 df (x) ， dy = A∆x则称 y = f (x)在 x 处可微 y = f (x) 在 0 x 处的微分 dy f (x )dx 0 / = 是曲线 y = f (x) 在 ( , ( )) 0 0 0 P x f x 处的切线的纵坐标增量 2．基本性质与公式 表 2 ⋅ 2 ⋅1 基本性质 序号 名称 内容 1 ( ) 0 / f x 存在的充 要条件 ( ) 0 / f x − = ( ) 0 / f x + 2 函数可导与连续 的关系 可导必连续，连续不一定可导 3 可导与可微的关 系 可导必可微反之亦然 4 一阶微分形式的 不变性 若 y = f (u),u = u(x) 皆可微，则复合函数可微，且 dy f (u)du / = 表 2 ⋅ 2 ⋅ 2 求导法则 法则 公式或定理 四则运算 设 f (x) ， g(x) 在 x 可导，则 （1）[ ( ) ( )] ( ) ( ) / / / f x ± g x = f x ± g x （2）[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) / / / f x ⋅ g x = f x ⋅ g x + f x ⋅ g x （3） [ ][ ], ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / / / ≠ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ g x g x f x g x f x g x g x f x 复合函数 求导 设 ( ) 0 / f u 与 ( ) 0 / g x 存在， ( ) 0 0 u = g x ，则 F(x) = f [g(x)] 在 0 x 点可导