第二章导数与微分(2)p(x)在x=0处连续，f(x)=(x-a)p(x)求f'(a): f'(x)= p(x)+(x -a)p'(x).. f'(a)=p(a)(3）若f(u)在u不可导，u=g(x)在x可导，且u=g(x),则f[g(x)在x。处不一定可导*=0=岁（2()0)可知=岁(4）设p"(t)y=y(t)p'(t)2.填空题(1) 设 f(-x)=-f(x),f'(x)=k,则 f'(-x)=(2）设为可导函数，y=cos([sinf(x)]会=hy1-x,则 f((x)=(3）设f(x)=1+ x（4）设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy(1-1)处相切其中a，b是常数，则a=;b=[x=1+t?md'y.(5)设dx2y=costJisin'xx*0则 f'(0)=(6)f(x)=tox=0则(7)y=y(x)由e+y+cos(xy)=0确定,dx3.选择题[f(a)×0 其中(x)在x=0处可导,(1)设F(x)Lf(0)x=0f'(0)0,f(0)=0,则x=0是F(x)的（A连续点B第一类间断点C第二类间断点D连续点或者间断点不确定(2）设y=f(x)在x,处可导，当x由x,增加到x+△x时记Ay为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，则lim=(AxA-1B0C1D833
第二章导数与微分 33 （2） ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) / ϕ x 在 x = 处连续，f x = x − a ϕ x 求 f a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / f a a f x x x a x ϕ ϕ ϕ ∴ = ∵ = + − （3） ( ) ( ) ( ), 0 0 0 0 若f u 在u 不可导，u = g x 在x 可导，且u = g x 则 f [g(x)] 在x0 处不一定可导 （4） ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) // // / // / / / t t t y t t y y t x t x x ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ = ≠ = ⎩ ⎨ ⎧ = = 设 由 可知 2．填空题 （1） (− ) = − ( ), ( ) = , (− ) = / / 设 f x f x f x k 则 f x （2） = { } = dx dy 设 f为可导函数，y cos f [sin f (x)] , （3） = + − = , ( ) 1 1 ( ) ( ) f x x x f x 设 则 n （4）设 曲线y = x 2 + ax + b和2y = −1+ xy 3 (1,－1)处相切 其中a，b是常数，则a = ;b = （5） = ⎩ ⎨ ⎧ = = + 2 2 2 cos 1 dx d y y t x t 设 则 （6） = ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = (0) 0 0 sin 0 ( ) / 1 2 f x x x f x x 则 （7） = + = = + dx dy y y x e xy ( ) 由 x y cos( ) 0确定，则 3．选择题 （1）设 其中 ( )在 0处可导， (0) 0 0 ( ) ( ) = ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = f x x f x x F x x f x f / (0) ≠ 0, f (0) = 0,则x = 0是F(x)的（ ） A 连续点 B 第一类间断点 C 第二类间断点 D 连续点或者间断点不确定 （2）设y = f (x)在x0处可导，当x由x0增加到x0 + ∆x时 ( ) ( ) lim ( ) 0 ∆ = ∆ ∆ − ∆ → x y dy x 记 y为f x 的增量，dy为f x 的微分，则 A -1 B 0 C 1 D ∞
第二章导数与微分[x’sin]x>0在x=0处可导，则a，b分别为（）(3）设f(x)ax+ bx≤0A (=1,b=0B a=0,b 为任意常数C a=0,b=0D=1,b 为任意常数(4）f(x)=(x2-x-2)/x3-x|的不可导点的个数是：（)A 3c 1B 2D0(5）若y=f(x)在x处的导数f'(o)=0，则y=f(x)在点(xo,(xo)处的法线(A与x轴相平行B 与x轴垂直C 与y轴相垂直D与x轴既不垂直也不平行)(6）f(x)为奇函数，则f(x)为（A奇函数B偶函数C非奇非偶D不确定)(7）f(x)为偶函数，则f'(αx)为（A奇函数B偶函数C非奇非偶D不确定4.主观题求解下列各题x = arcsint求dy(1)设[y=VI+idt?(2) xy-2*+2"=0 求y(0) 。(3)y=a+ln(xy)+e2x求dy。1（4）求（2-3x+2(5）求对数螺线p=e°在(p,の)=(e,号)处切线的直角坐标方程。x2x≤0求f(x)(6) f(x)=er-1x>0f(x)- g(-x)(7) 设f(0)=a,g (0)=b,且 f(0)= g(0)求 lim+x练习题答案(2) ×(3) (4) ×1. (1) ×(2) f'(x)cos f(x)F'[sin f(x)] [-sin([sin f(x)])2. (1)k(-1)"2 ·n!(3)(4) a= -1b=-1(1 + x)+134
第二章导数与微分 34 （3）设 在 0处可导， 0 sin 0 ( ) 2 1 = ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ > = x ax b x x x f x x 则a，b分别为（） A a=1,b=0 B a=0,b 为任意常数 C a=0,b=0 D a=1,b 为任意常数 （4） f (x) = (x 2 − x − 2) | x 3 − x |的不可导点的个数是：（） A 3 B 2 C 1 D 0 （5）若y = f (x)在x0处的导数f / (x0 ) = 0，则y = f (x)在点 ( , ( )) ( ) x0 f x0 处的法线 A 与 x 轴相平行 B 与 x 轴垂直 C 与 y 轴相垂直 D 与 x 轴既不垂直也不平行 （6） f (x)为奇函数，则f / (x)为（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶 D 不确定 （7） f (x)为偶函数，则f / (x)为（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶 D 不确定 4．主观题 求解下列各题 （1） 2 2 1 arcsin dt d y y t x t 设 求 ⎩ ⎨ ⎧ = + = 。 （2） 2 2 0 (0) / xy y − x + y = 求 。 （3） y a xy e dy = + ln( ) + 2x 求 。 （4） ( ) 2 ) 3 2 1 ( n x − x + 求 。 （5）求对数螺线 θ ρ = e 在( , ) ( , ) 2 2 π π ρ θ = e 处切线的直角坐标方程 。 （6） ( ) 1 0 0 ( ) / 2 f x e x x x f x x 求 ⎩ ⎨ ⎧ − > ≤ = （7） x f x g x f a g b f g x ( ) ( ) (0) , (0) , (0) (0) lim 0 / / − − = = = → 设 且 求 练习题答案 1．（1）× （2）× （3）√ （4）× 2．（1）k （2） ( ) cos ( ) [sin ( )] [ sin{ [sin ( )]}] / / f x f x f f x ⋅ − f f x （3） 1 (1 ) ( 1) 2 ! + + − ⋅ n n x n （4）a= －1 b=－1
第二章导数与微分d'y_sint-tcost(5)(6) f'(0)=14t3dx?ysin(xy)-e*+y(7)e*+y -xsin(xy)(3) c3. (1)B(2) B(4) B(5)B(6) B(7) A4. (1)-+V1+t(2) 1(3)dy=(=)(+2e2*)dx2xx<0ex>0(5) x+y=e(6) F'(x)=(7)a+bf'(0)=0 x=0f'(0)=1五自测题1.填空题（1）设y=e-f()f(e")，其中f(x)有连续的导函数，则dy=（）f(b)- f(a)0（(2）设f(x)在x=a点可导，且(a)=2a，则limasinb-sina(3)已知[()=，则F()=（)(4) 设f(αx)=sinx,则f'(f(x)=(（)[x=1+t?（5）曲线在1=2处的切线方程是（），法线方程是（)。y=r32.选择题（1）(x)=(x2-x-2)/x3-x|的不可导点的个数是（）。A.3B. 2C.1D.0Mx|sin×0则(x)在x=0处是（)。(2)[ 0x=0A.极限不存在B.极限存在但不连续D.可导C.连续但不可导(3) 设 F(x)= F(g(x), f(2)=3, g(2)= 5,g (2)= 4, f(2)=-2及f'(5) =11,则F'(2)为（)。A.44B.11 C.-8D.12（4）如果录[f(2x)=x2,则F"(x)为（）。35
第二章导数与微分 35 （5） 2 3 2 4 sin cos t t t t dx d y − = （6） 0 1 f（/ ）＝ （7） sin( ) sin( ) e x xy y xy e x y x y − − + + 3.（1） B （2）B （3）C （4）B （5） B （6）B （7）A 4．（1）− 1+ t 4 1 （2）1 （3）dy e dx x y x y ( )( 2 ) 1 2 1 = + − （5） 2 π x + y = e （6） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = > < = + − (0) 1 (0) 0 0 0 2 0 ( ) / / / f f x e x x x f x （7）a＋b 五 自测题 1.填空题 （1）设 ( ) f ( x) x y e f e − − = ，其中 f (x) 有连续的导函数，则 dy=（ ） （2）设 f (x) 在 x=a 点可导，且 f (a) 2a / = ，则 ( ) sin sin ( ) ( ) lim = − − → b a f b f a b a （3）已知 [ ( )] x dx x d f 1 1 2 = ，则 ( ) ( ) 2 / 1 f = （4）设 ( ) sin , ( ) ( ) ( ) / f x = x 则f f x = （5）曲线 2 1 3 2 = ⎩ ⎨ ⎧ = = + t y t x t 在 处的切线方程是（ ），法线方程是（ ）。 2.选择题 （1） ( ) ( 2) | | 2 3 f x = x − x − x − x 的不可导点的个数是（ ）。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 （2） ( ) 0 0 0 | |sin 2 0 1 = ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ f x x x x x x 则 在 处是（ ）。 A.极限不存在 B.极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 （3）设 ( ) ( ) () ( ) , 2 3, (2) 5, (2) 4, (2) 2 (5) / / / F x = f g x f = g = g = f = − 及f =11， 则 ( ) 2/ F 为（ ）。 A.44 B.11 C.－8 D.12 （4）如果 dx d [ ] f ( ) 2x = x 2 ,则f / ( ) x 为（ ）
第二章导数与微分xx2x2D.B.4C.2 x284(5）设f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处不可导的充分条件是（）。B:J(a)=0且f'(a)±0A. f(a)=0且f'(a)=0c. f(a)>0且f'(a)>0D. f(a)<0且f'(a)<03.主观题(1) y= tan(e-2* + 1)+ arctan1,求y.（2）2y=1+xe求l=0[x=dl-sin)+e 求学(3)y=a(1-cost)Jarctg++ex<0且对任意x,a,b,F(s)存在，求a,b(4) 设(x)=ax+bx≥0(5）设f(x)在x=0 附近有定义，且满足If(x)Kx2，证明f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0x±0(6) 讨论(x);x=0处的可导性0x=0求(0 (0)(7) y=xlnx自测题答案1. (1) -e-r(n[r'(x)(e-+)+e"* f'(e-r)lb2a(4) cos(sinx)(2)(3) -1;cosa(2) C ;(3) A;(4) A ;(5) B2. (1) B;1(3) dy3.(1) =-2e-2sec(e2*+1)-:(2)y(0)=± ;dx?a(1-cost)2(7) (-1)n-2 . (n- 2)(4)a=-1,b=-11/2:36
第二章导数与微分 36 A. 8 2 x B. 4 2 x C.2 x D. 2 2 x （5）设 f (x) 在 x = a 处可导，则| f (x) |在 x = a 处不可导的充分条件是（ ）。 A. ( ) 0 ( ) 0 / f a = 且f a = B. ( ) 0 ( ) 0 / f a = 且f a ≠ C. ( ) 0 ( ) 0 / f a > 且f a > D. ( ) 0 ( ) 0 / f a < 且f a < 3.主观题 （1） tan( 1) arctan , . 2 1 / y e y x = − x + + 求 （2） 0 2 1 | = + dx x= xy dy y xe 求 （3） ( ) ⎩ ( ) ⎨ ⎧ = − = − + 2 2 1 cos sin 2 dx d y y a t x a t t e 求 （4）设 ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ + < = 0 0 1 1 ax b x arctg e x f x x x 且对任意 x a b f (x) / , , . 存在，求 a,b （5）设 f (x) 在 x = 0 附近有定义，且满足 ( ) 2 | f x |≤ x ，证明 f (x) 在 x = 0 处可导，且 ( ) 0 0 / f = （6）讨论 ( ) 在 0处的可导性 0 0 1 0 1 = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − x x x f x x e x （7） ( ) ln ( ) 1 n y = x x 求f 自测题答案 1.（1） ( ) e [f (x)f (e ) e f (e )]dx − f x −x −x −x − + / / （2） a a cos 2 ； （3）－1； （4）cos(sin x) 2.（1）B； （2）C ； （3）A； （4）A ； （5）B 3.（1） ( ) 2 1 / 2 2 2 1 2 sec 1 x x x y e e + − − = − + − ； （2） ( ) 2 / 1 y 0 = ； （3） ( ) 2 2 2 1 cos 1 dx a t d y − = − ； （4）a=－1，b＝－∏/2 ； （7）( 1) ( 2)! 2 − ⋅ − − n n
第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用一、基本要求1、理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理证明有关命题及构造相应的辅助函数；2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法：3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，以及能够判断方程的根、证明函数不等式：掌握函数最大值和最小值的求法（如确定目标函数和约束条件、判定所讨论区间）及其在儿何、物理、经济等方面上的简单应用4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求曲线的铅直渐近线、斜渐近线及水平渐近线，能够利用导数来把握函数的性态，借此描绘函数的图形；5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径二、主要内容（一）微分中值定理费尔马(Fermat）定理若函数f(x)满足条件（1）在x。的某邻域内有定义，且在此邻域内恒有f(x)≤f(x)或f(x)≥f(x)；(2)在x处可导，则有f(x)=0.罗尔(Rolle）定理若函数f(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则在(a,b)至少存在一个专，使得f()=0拉格朗日(Lagrange)中值定理设函数f(x)满足条件(1)在闭区间[a,b)上连续;(2)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点5，使得 (5)=)-(α)b-a柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)，g(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导，且g(1)*0,则在(a,b)内至少存在一点占，使得上=)-T(a)g'()g(b)-g(a)(二）洛必达(L'Hospital)法则(°型)洛必达法则一（0若在某极限过程中(下面以x→a为例)有(1)f(x)→0,g(x)→0,(2)f(x),g(x)在x=a的某去 -lm') = A.f'(x)2=A（A为有限数或0），则有lim二心邻域内可导，g(x)±0；（3）limx-a g(x)x-a g'(x)ag'(x)洛必达法则二（-型）8若在某极限过程中（下面以x→a为例)有(1)f(x)→,g(x)→;(2)f(x),g(x)在x=a的某去37
第三章 微分中值定理与导数的应用 37 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、基本要求 1、理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理证明有关命题及构造相应 的辅助函数； 2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法； 3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，以及能够判断方程的 根、证明函数不等式；掌握函数最大值和最小值的求法（如确定目标函数和约束条件、判定所讨论区间） 及其在几何、物理、经济等方面上的简单应用． 4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求曲线的铅直渐近线、斜渐近线及水 平渐近线，能够利用导数来把握函数的性态，借此描绘函数的图形； 5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． 二、主要内容 (一) 微分中值定理 费尔马( Fermat ) 定理 若函数 f (x)满足条件 (1) 在 x0 的某邻域内有定义，且在此邻域内恒有 f (x) ≤ ( ) x0 f 或 f (x) ≥ ( ) 0 f x ；(2)在 x0 处可导，则有 ( ) 0 f ′ x =0． 罗尔( Rolle ) 定理 若函数 f (x) 满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b) 内可导; (3) f (a) = f (b),则在(a,b) 至少存在一个ξ ，使得 f ′(ξ ) = 0 ． 拉格朗日( Lagrange )中值定理 设函数 f (x) 满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b) 内可导，则在(a,b) 内至少存在一点ξ ，使得 b a f b f a f − − ′ = ( ) ( ) (ξ) ． 柯西( Cauchy )中值定理 设函数 f (x) ， g(x) 满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b) 内可导，且 g′(x) ≠ 0，则在(a,b) 内至少存在一点ξ ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − = ′ ′ ξ ξ ． (二) 洛必达(L'Hospital)法则 洛必达法则一（ 型 0 0 ） 若在某极限过程中(下面以 x → a 为例)有 (1) f (x) → 0, g(x) → 0; (2) f (x), g(x) 在 x = a 的某去 心邻域内可导， g′(x) ≠ 0; ⑶ A g x f x x a = ′ ′ → ( ) ( ) lim （A 为有限数或∞），则有 A g x f x g x f x x a x a = ′ ′ = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ． 洛必达法则二（ 型 ∞ ∞ ） 若在某极限过程中（下面以 x → a 为例）有 (1) f (x) → ∞, g(x) → ∞; (2) f (x), g(x) 在 x = a 的某去