第一章函数与极限证明：由于f()在(a,b)内连续，ax<x…<xb，故f(x)在[i,x,]上连续，从而必有最大值M和最小值m,使得m≤f(x)≤M(i=1,2,,n)则mms (x)+ ()++ (x)≤mM+ ms()+()++(α)≤Mn由闭区间上连续函数的介值定理知至少存在一点e[x,x,]c(a,b)，使(5) = (x)+ (,) ++ (x,)n例27.证明F(x）=x3+2x2=4x-1在(-00,+）上有三个零点证明：显然f(x) ec(-0,+oo)f(0) =-1<0, f(2)= 8 +8 - 8 -1= 7 > 0 = (0) f(2)< 0f(-1)= -1+2 + 4 -1 = 4 > 0 = J(0)· f(-1)< 0由 lim f(x)=-80,3x,使 f(x)<0 =f(x,)f(-1)<0 故在(-0,-1)(-1,0)(0,2)之间各有f(x)的一个零点，那f(x)在(-0,+)上有三个零点例 28. 若函数g(x) e c[a,b], 且 lim g(x)= lim g(x)= -0 , 则函数g(x)在(a,b)内取到最大值。证明：取xo(a,b)，设M=g(xo)，因lim.g(x)=-0，故38,>0，使Vxe(a,a+8);有g(x)<M：又因limg(x)=-00，故3,>0，使Vxe(b-82,b)，有g(x)<M，令8=min(61,82)并设=gla+8,b-5)）（这里=gla+8b-a)表示g在闭区间[a+8,b-]上的限制),则c[a+,b-]，故3x,[a+8,b-],使f(x)=max(f(x)/x e[a+8,b-8,又Vxe (a,a+8),有f(x)<M = g(xo)= f(xo)≤ f(x): Vxe (b-8,b),有f(x)<M =g(xo)= f(xo)≤ f(x), 故f(x,)≥g(x)(Vxe(a,b)即g(x)≥g(x)(Vxe (a,b)从而g(x)在x=x,处达到最大值例29.若f(x)ec[0,al(a>0)，且F(0)=F(a)，则方程f(x)=f(x+)在(0,a)内至少有一实根。证明：令g(x)=(x)-f(x+号)ec[0,a]则g(0)=f(0)-(g)g()=()-(a)=)-(0)=(0)-(故g(0)·g()≤0若F(0)=()，则x=0或x=满足要求18
第一章 函数与极限 证明： 由于 f ( x) 在(a,b)内连续， a < x1 < x 2 < " < x n < b ，故 在[ 上连续，从而 必有最大值 M 和最小值 m,使得 f ( x) ] n x , x 1 m f ( x ) M (i 1,2, , n) ≤ i ≤ = " 则 nm ≤ f ( x1 ) + f ( x 2 ) + " + f ( x n ) ≤ nM ， M n f x f x f x m n ≤ + + + ≤ ( ) ( ) ( ) 1 2 " 由闭区间 上连续函 数的介值 定理知至 少存在一 点 ξ ∈ [ ] x1 , x n ⊂ (a, b) ， 使 n f x f x f x f n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 2 + + = " ξ 例 27．证明 f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 1在(− ∞,+∞ )上有三个零点 证明： 显然 f ( x) ∈ c(−∞ ,+∞ ) f (0) = −1 < 0, f (2) = 8 + 8 − 8 − 1 = 7 > 0 ⇒ f (0) ⋅ f (2) < 0 f (−1) = −1 + 2 + 4 − 1 = 4 > 0 ⇒ f (0) ⋅ f (−1) < 0 由 1 lim f ( x) , x x = −∞ ∃ → −∞ 使 ( ) 0 ( ) ( 1) 0 f x1 < ⇒ f x1 ⋅ f − < 故在 (− ∞,−1) (, − 1,0),(0,2) 之间各有 f ( x) 的一个零点，那 f ( x) 在(− ∞,+∞ )上有三个零点 例 28．若函数 g ( x) ∈ c[a, b]，且 = = −∞ → + → − lim g ( x) lim g ( x) x a x b ，则函数 在 内取到最大 值。 g ( x) (a, b) 证明： 取 x 0 ∈ (a, b)，设 M = g ( x 0 ) ，因 = −∞ → + lim g ( x) x a ，故 0 ∃δ 1 > ，使 ( ) 1 ∀x ∈ a, a + δ ； 有 g ( x) < M ；又因 = −∞ ，故 → − lim g ( x) x b 0 ∃δ 2 > ，使 x (b , b) ∀ ∈ − δ 2 ，有 g ( x) < M ，令 { } 1 2 δ = min δ ,δ 并设 f = g |(a +δ ,b −δ ) （这里 = ( ) a +δ b −δ f g , | 表示 g 在闭区间[ ] a + δ , b − δ 上的限 制），则 f ∈ c[ ] a + δ , b − δ ，故∃x ∈ [a + δ , b − δ ] 1 ， 使 f ( x ) = max {f ( x) | x ∈ [ ] a + δ , b − δ }，又 ∈ ( + δ ) 1 ∀x a, a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 f x < M = g x = f x ≤ f x ， 有 ；∀x ∈ (b − δ , b)， 有 f ( x) < M = g ( x 0 ) = f ( x 0 ) ≤ f ( x1 ) ，故 ( ) ( )( ( , )) 1 f x ≥ g x ∀x ∈ a b 即 ( ) ( )( ( , )) 1 g x ≥ g x ∀x ∈ a b 从而 g ( x) 在 1 x = x 处达到最大值 例 29．若 f ( x) ∈ c[0, a](a > 0) ，且 f (0) = f (a) ，则方程 ) 2 ( ) ( a f x = f x + 在 内至少有一 实根。 (0, a ) 证明： 令 c[ ] a a g x f x f x ) 0, 2 ( ) = ( ) − ( + ∈ 则 ) 2 (0) (0) ( a g = f − f ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − = − − ) 2 ) (0) (0) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ( a f f f a f a f a f a g 故 ) 0 2 (0) ⋅ ( ≤ a g g 若 ) 2 (0) ( a f = f ，则 x = 0 或 2 a x = 满足要求 18
第一章函数与极限若(0)F()，则g(x)·g(号)<0 ，由零点定理3xE(0,号），使g(x。)=0，即号),x。是(0,a)内(x)=(x+)的根f(x)= f(xo +总结：对于闭区间上连续函数的命题一般采用下面两种做法：(1)直接法，先利用最值定理，再利用介值定理(2)间接法，先作辅助函数F(x)，再利用零点定理辅助函数的作法：首先，把结论中的（或x。）改写成x；其次，移项，使等式右边为零，令左边式子为F（x），则F（x）即为所求类型十四常数值的确定x? + ax +b例30.已知lim=2，求a,b之值42 x2 - x - 2解：由于当x→2时，分母的极限为零，且分式的极限存在，所以分子的极限必为零，即lim(x2+ax +b)= 4+2a+b=0由此得b=-2a-4于是x+ax+b=x+ax-2a-4=(x-2)(x+a+2)x2 +ax +b(x- 2)(x+a+2)a+42= lim代入原式得lim= 23→2x2-x-2(x - 2)(x + 1)→得[a=2a+4=6解方程组[b = -8[b=-2a-4例31.对某一常数c，lim[xs+7x+2)°-x|存在且不为零，试求常数c并求极限值。(r +7x* +2)* - X = 0设该极限值为A*0则lim解：x！，于是易知分子关于×的最高次数应该是零次，因此5c=1即c=！572A= lim (/x+7x*+2-x)= lim x(s/1+1)x7.2：当x→时，→0xs.由等价无穷小，有+二+三-11xsx5小故A=limx.=5[In(1 + 2x)x0试确定常数α使得f(x)在x=0处连续例32.设f(x) =xax=019
第一章 函数与极限 若 ) 2 (0) ( a f ≠ f ， 则 ) 0 2 ( ) ⋅ ( < a g x g ，由零点定 理 ) 2 (0, 0 a ∃x ∈ ， 使 g ( x 0 ) = 0 ， 即 0 0 0 ), 2 ( ) ( x a f x = f x + 是(0, a) 内 ) 2 ( ) ( a f x = f x + 的根 总结：对于闭区间上连续函数的命题一般采用下面两种做法： （1） 直接法，先利用最值定理，再利用介值定理 （2） 间接法，先作辅助函数 F ( x) ，再利用零点定理 辅助函数的作法： 首先，把结论中的ξ （或 x 0 ）改写成 x ； 其次，移项，使等式右边为零，令左边式子为 F ( x) ，则 F ( x) 即为所求 类型十四 常数值的确定 例 30．已知 2 2 lim 2 2 2 = − − + + → x x x ax b x ，求 a, b 之值 解： 由于当 x → 2 时，分母的极限为零，且分式的极限存在，所以分子的极限必为零，即 lim ( ) 4 2 0 2 2 + + = + + = → x ax b a b x 由此得b = −2a − 4 于是 2 4 ( 2)( 2) 2 2 x + ax + b = x + ax − a − = x − x + a + 代入原式得 2 3 4 ( 2)( 1) ( 2)( 2) lim 2 lim 2 2 2 2 = + = − + − + + = − − + + → → a x x x x a x x x ax b x x 解方程组 得 ⎩ ⎨ ⎧ = − − + = 2 4 4 6 b a a ⎩ ⎨ ⎧ = − = 8 2 b a 例 31．对某一常数 c [ x x x ] c x + + − → +∞ , lim ( 7 2 ) 5 4 存在且不为零， 试求常数c 并求极限值。 解： 设该极限值为 A ≠ 0 则 0 ( 7 2) lim 5 4 = + + − → +∞ x x x x c x 易知分子关于 x 的最高次数应该是零次，因此5c = 1即 5 1 c = ，于是 1) 7 2 lim ( 7 2 ) lim (5 1 5 5 4 5 = + + − = + + − → +∞ → +∞ x x A x x x x x x ∵ 当 x → +∞ 时， 0 7 2 + 5 → x x ∴ 由等价无穷小，有 ) 7 2 ( 5 1 1 ~ 7 2 1 5 5 5 x x x x + + − + 故 5 7 ) 7 2 ( 5 1 lim 5 = ⋅ + = →∞ x x A x x 例 32．设 ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + = 0 0 ln 1 2 ( ) a x x x x f x 试确定常数 a 使得 f ( x) 在 x = 0 处连续 19
第一章函数与极限In(1 + 2x)2x=2=f(0)解：要使f(x)在x=0处连续，只需limf(x）=lim=limx→0x又f(0)=a，故a=2，故当a=2时，f(x)在x=0连续x2n-l+ax2+bx是连续函数，求a,b的值例33.设f(x)=limx2n +1a2n-1 + ax° + bx解：当|xk1时f(x)=lim= ax? + bxx2" +1ba1 +X2n-3x 2n-21当|x>1时(x)=lim-1xx--2m-1当x=1时，f()=-(1+ a+b)2当x=-1时，(-1)=-(-1+ a-b)2即[≤<1ax2 + bx,-/x[3 >1f(x) =-(1 + a + b),x=1(-1+ a- b),x=-1分段点为x=±12因为f(x)在x=1处连续，故f(1+0)=f(1-0)=f(1)即1=a+b=-(1+a+b)2又因为(x)在x=-1 处连续，故(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)即1a-b=-l-1+a-b)故a=0,b=1四练习题1.是非题（判断下列各题是否正确，正确在题后括号打“√”，错误打“×"）(1）若f(x)的定义域是[0,a)a>0)，则f(x)+f(-x)的定义域是[-a,a]（)(2）设数列(x）满足：V>0,3无穷多个n，使|x，-Aε成立，则limx=A1（)(3)若(x)>g(x),lim f(x)=A,limg(x)=B，则有A>B（(4) lim xarctan=0,()=limx·limarctanXX(5）若f(x)在整个实数轴上连续，则f(x)在整个实数轴上有界（2.填空题（将答案填在各题的横线上）xx<0 则(x)=(1) 若(x)=x≥021n(2）lim+n+2n+n+1n?+n+n20
第一章 函数与极限 解： 要使 f ( x) 在 x = 0 处连续，只需 2 (0) 2 lim ln(1 2 ) lim ( ) lim 0 0 0 f x x x x f x x x x = = = + = → → → 又 f (0) = a ，故 a = 2 ，故当 a = 2 时， f ( x) 在 x = 0 连续 例 33．设 1 ( ) lim 2 2 1 2 + + + = − →∞ n n n x x ax bx f x 是连续函数，求 a, b 的值 解： 当| x |< 1时 ax bx x x ax bx f x n n n = + + + + = − →∞ 2 2 2 1 2 1 ( ) lim 当| x |> 1 时 x x x x b x a f x n n n n 1 1 1 ( ) lim 2 1 2 3 2 2 = + + + = − − − →∞ 当 x = 1 时， (1 ) 2 1 f (1) = + a + b 当 x = −1 时， ( 1 ) 2 1 f (−1) = − + a − b 即 ( ) ⎪ ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + − = − = ± + + = > + < = 1 , 1 1 2 1 1 , 1 2 1 , 1 1 , 1 ( ) 2 a b x x a b x x x ax bx x f x 分段点为 因为 f ( x) 在 x = 1 处连续，故 f (1 + 0) = f (1 − 0) = f (1) 即 (1 ) 2 1 1 = a + b = + a + b 又因为 f ( x) 在 x = −1 处连续，故 f (−1 + 0) = f (−1 − 0) = f (−1) 即 ( 1 ) 2 1 a − b = −1 = − + a − b 故 a = 0, b = 1 四 练习题 1．是非题（判断下列各题是否正确，正确在题后括号打“√”，错误打“×”） （1）若 f ( x) 的定义域是[0, a )(a > 0) ，则 f ( x) + f (− x) 的定义域是[− a, a] （ ） （2）设数列{x n }满足：∀ε > 0, ∃ 无穷多个 n ，使| x − A |< ε n 成立，则 x n A （ ） n = →∞ lim （3）若 f ( x) > g ( x), lim f ( x) = A, lim g ( x) = B ，则有 A > B （ ） （4） 0 1 lim lim arctan 1 lim arctan 0 0 0 = ⋅ = → → → x x x x x x x ，（ ） （5）若 f ( x) 在整个实数轴上连续，则 f ( x) 在整个实数轴上有界 （ ） 2．填空题（将答案填在各题的横线上） （1）若 则 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 0 ( ) 2 x x x x f x f [f ( x)] = （2） ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + →∞ + + n n n n n n n n n 2 2 2 2 2 1 1 lim " 20
第一章函数与极限(3)设函数f(x)=a*(a>0,a±1)，则lim-n[(1) (2).. (n)] =n（4）已知当x→0时，（1+ax2)31与cosx-1是等价无穷小，则常数α=cosxx≥0X+2(5）设a>0，且f(x)=当a为时，x=0是(x)a-Ja-xx≤0x的间断点(6) lim × sin In(1+ sinIn(时，才能使函数在点x=0(7)对于函数f(x)=In(cos x)x-2，应补充定义f(O)=连续3.选择题（1）设数列x,与y满足limx,y=0，则下列断言正确的是（）（A）若x,发散，则y,必发散（B）若x,无界，则y必有界（D）若二为无穷小，则y，必为无穷小(C）若x有界，则y必为无穷小X.函数-1（2）当x→1时，e-i的极限（）x-1（A）等于2（B）等于0(C) 为0（D）不存在但不为0352n+1的值是（）（3）极限lim[13x2222×32n2×(n-1)2(A)0(B) 1(C) 2（D）不存在(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(4)设lim=β，则α,β的数值为（）x→a(3x 2)a(4) α=1,β=I(B) α=5,β=I1（D）均不对(C) α= 5,β=3533（5）设(x)=2*+3#-2，则当x→0时（）（A）f(x)是x的等价无穷小（B）f(x）与x是同阶但非等价无穷小（D）f(x)是比x较高阶无穷小(C）f(x)是比x较低阶的无穷小(1+x)(1+2x)(1+3x)+a=6，则a的值为（）（6）设limx-→0x(D) 3(A) -1(B) 1(C) 2（7）函数f(x)在点x处连续的充要条件是x→x。时（）（A）J(x)是无穷小(B）f(x)有界(C) (x)=f(x)+α(x) (其中α(x)→0,x→x。)21
第一章 函数与极限 （3）设函数 f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1) ，则 [ ] ⋅ = → ∞ ln (1) (2) ( ) 1 lim 2 f f f n n n " （4）已知当 x → 0 时，(1 ) 1 3 1 2 + ax − 与cos x − 1 是等价无穷小，则常数 a = （5）设a > 0 ，且 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − − ≥ + = 0 0 2 cos x x a a x x x x f x 当a 为 _ 时， x = 0 是 f ( x) 的间断点 （6） = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + →∞ ) 1 ) sin ln(1 3 lim sin ln(1 x x x x （7）对于函数 f ( x) = ln(cos x) x −2 ，应补充定义 f (0) = 时，才能使函数在点 连续 x = 0 3．选择题 （1）设数列 x n 与 y n 满足 lim = 0 →∞ n n n x y ，则下列断言正确的是（ ） （A）若 x n 发散，则 y n 必发散 （B）若 x n 无界，则 y n 必有界 （C）若 x n 有界，则 y n 必为无穷小 （D）若 n x 1 为无穷小，则 y n 必为无穷小 （2）当 x → 1 时，函数 1 2 1 1 1 − − − x e x x 的极限（ ） （A）等于 2 （B）等于 0 （C）为∞ （D）不存在但不为∞ （3）极限 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × − + + + × + ×2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 2 3 5 1 2 3 lim n n n " 的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在 （4）设 β α = − − − − − − →∞ (3 2) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) lim x x x x x x x ，则α , β 的数值为（ ） （A） 3 1 α = 1, β = （B） 3 1 α = 5, β = （C） 5 3 1 α = 5, β = （D）均不对 （5）设 f ( x) = 2 x + 3 x − 2 ，则当 x → 0 时（ ） （A） f ( x) 是 x 的等价无穷小 （B） f ( x) 与 x 是同阶但非等价无穷小 （C） f ( x) 是比 x 较低阶的无穷小 （D） f ( x) 是比 x 较高阶无穷小 （6）设 6 (1 )(1 2 )(1 3 ) lim0 = + + + + → x x x x a x ，则a 的值为（ ） （A）-1 （B）1 （C）2 （D）3 （7）函数 f ( x) 在点 x 0 处连续的充要条件是 x → x 0 时（ ） （A） f ( x) 是无穷小 （B） f ( x) 有界 （C） ( ) ( ) ( ) 0 f x = f x + α x （其中 0 α ( x) → 0, x → x ） 21
第一章函数与极限（D）F(x)在点x。处的左、右极限皆存在且相等4.主观题1.设3f(x)+x，求f(x)2.求下列极限(1) lim(Vx2 +2 - Vx2-2)(2)im3x* +5. sin 22+exsin x(3)lim(4) lim5x +3x1x |l+e3sin x + cos !4(5)lim*/2"+4"+6"+..+20"(6) limx→0 (1 + cos x) In(1 + x)(an+a3.设a>0，a>0，a+=),(n=1,2)求证：lima,存在，并求之Pan1-etannx>0arcsin4.设函数f(x)=问a为何值时，函数f(x)在x=0处连续？2e2rx≤05.试确定正整数n，使得当x→0时，（1-cosx)In(1+x2）是比xsinx"高阶的无穷小,而xsinx"是比（e-1)高阶的无穷小1xarctan6.设x-1，求函数y的间断点并判断其类型sng7.设f(x)在[a,b]上连续，且a<x<x<….<x<b，c,(i=1,2,…,n)为任意正数，则在(a,b)内至少落在一点，使()=(x)+c./(x)++c, (x)C, +C, +..+c.答案与提示1. (1) ×(2) x(3) ×(4) ×(5) ×x<0[xVJina(4) 3(2)(3) 2. (1)(5）a>0且a1(x4x≥0222(7) _1(6) 223. (1) D(2) D(3) B(4) C(5) B(6) A(7) C22
第一章 函数与极限 （D） f ( x) 在点 x 0 处的左、右极限皆存在且相等 4．主观题 1．设 x x f x f ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 3 ( ) ，求 f ( x) 2．求下列极限 （1）lim ( 2 2 ) 2 2 1 + − − → x x x （2） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + →∞ 2 2 2 1 2 lim n n n n n " （3） x x x x 2 sin 5 3 3 5 lim 2 ⋅ + + →∞ （4） ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + → | | sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x （5） n n n n n n lim 2 + 4 + 6 + + 20 →∞ " （6） (1 cos ) ln(1 ) 1 3 sin cos lim 2 0 x x x x x x + + + → 3．设a > 0 ， a1 > 0 ， ( ), ( 1,2, ) 2 1 +1 = + n = " a a a a n n n 求证： n 存在，并求之 n a →∞ lim 4．设函数 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > − = 0 0 2 arcsin 1 2 tan ae x x x e f x x x 问 a 为何值时，函数 f ( x) 在 x = 0 处连续？ 5．试确定正整数 n ，使得当 时， 是比 高阶的无穷小， 而 是比 高阶的无穷小 x → 0 (1 cos ) ln(1 ) 2 − x + x n x sin x n x sin x ( 1) 2 x e − 6．设 x x x y 2 sin 1 1 arctan π − = ，求函数 y 的间断点并判断其类型 7．设 f ( x) 在[a, b]上连续，且 a < x1 < x 2 < " < x n < b ，c (i 1,2, , n) i = " 为任意正数， 则在(a, b)内至少落在一点ξ ，使 n n n c c c c f x c f x c f x f + + + + + + = " " 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) (ξ ) 答案与提示 1．（1）× （2）× （3）× （4）× （5）× 2．（1） （2） ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < 0 0 4 x x x x 2 1 （3） ln a 2 1 （4） 2 3 （5） a > 0 且 a ≠ 1 （6）2 （7） 2 1 − 3．（1）D （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C 22