全程设计 微专题一 数列求和
微专题一 数列求和
导 利用公式法求和 等差数列、等比数列或可转化为等差数列、等比数列的数 列，可直接用等差数列、等比数列的求和公式求和 等差数列的前n项和公式S,a士na4 2 na1,q=1, 等比数列的前n项和公式Sq+1
导航 一 利用公式法求和 等差数列、等比数列或可转化为等差数列、等比数列的数 列,可直接用等差数列、等比数列的求和公式求和. 等差数列的前 n 项和公式 Sn= 𝒏(𝒂𝟏 +𝒂𝒏) 𝟐 =na1+ 𝒏(𝒏-𝟏) 𝟐 d; 等比数列的前 n 项和公式 Sn= 𝒏𝒂𝟏,𝒒 = 𝟏, 𝒂𝟏(𝟏-𝒒 𝒏) 𝟏-𝒒 ,𝒒 ≠ 𝟏
【典型例题1】已知数列{am}的前n项和为S,1=1, 0n+1=2Sn+1. (1)求数列{}的通项公式； (2)等差数列{b,}的各项均为正数，其前n项和为Tm,且T3=15, 又a1+b1,2+b2,3+b3成等比数列，求Tr 解：(1)由am+1=2Sn+1,可得an=2Sm1+1(n≥2)， 两式相减，得an+1n=2am4+13an(n≥2) 因为42=2S1+1=3,所以23r 故{a}是首项为1，公比为3的等比数列，即am=3-1
导航 【典型例题1】已知数列{an }的前n项和为Sn ,a1 =1, an+1 =2Sn +1. (1)求数列{an }的通项公式; (2)等差数列{bn }的各项均为正数,其前n项和为Tn ,且T3 =15, 又a1+b1 ,a2+b2 ,a3+b3成等比数列,求Tn . 解:(1)由an+1 =2Sn +1,可得an =2Sn-1+1(n≥2), 两式相减,得an+1 -an =2an ,an+1 =3an (n≥2). 因为a2 =2S1+1=3,所以a2 =3a1 . 故{an }是首项为1,公比为3的等比数列,即an =3 n-1
(2)设等差数列{b}的公差为山， 导航 由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5, 即b1=5-d,b3=5+d 又41=1,23,43=9， 由题意可得(5-d什1)5+d+9)=(5+3)2. 解得d=2或d=10. 又等差数列{b}的各项为正数， 即d>0,故d=2,b1=5-d=3, 得Ir3n+g2=n2+2n
导航 (2)设等差数列{bn}的公差为d, 由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5, 即b1=5-d,b3=5+d. 又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5 -d+1)(5+d+9) =(5 +3) 2 . 解得d= 2 或d=-10 . 又等差数列 { b n }的各项为正数 , 即d>0, 故d=2, b 1 = 5 -d=3, 得 Tn = 3n+𝒏(𝒏-𝟏) 𝟐 × 2=n 2 + 2 n
导航 解题技巧对于等差数列或等比数列，我们可直接利用前项 和公式求和.在利用等比数列前项和公式时，要注意对公比 是否为1进行讨论
导航 解题技巧 对于等差数列或等比数列,我们可直接利用前n项 和公式求和.在利用等比数列前n项和公式时,要注意对公比 是否为1进行讨论