导航 跟踪训练1已知等比数列{a}的各项均为正数，其前n项和为 SmS3=14,S6=126. (1)求数列{a}的通项公式； (2)求数列{lgan}的前n项和Tr
导航 跟踪训练1已知等比数列{an }的各项均为正数,其前n项和为 Sn ,S3 =14,S6 =126. (1)求数列{an }的通项公式; (2)求数列{lg an }的前n项和Tn
解：(1)设等比数列{an}的公比为q, 导航 因为41+2+3-14,41+2+3+…+6=126， 所以4+u5+a6=112=(a1+2+3)q, 所以q3=8,得q=2. 由u1+2a1+4a1=14,解得u1=2,即an=2m (2)因为an=2n,所以lgam=nlg2. lg a-g a,=(n+1)Ig 2-nlg 2=1g 2. 即数列{lg4m}是首项为g2,公差为g2的等差数列. 故Tr=l鸣24g20+"g2
导航 解:(1)设等比数列{an }的公比为q, 因为a1+a2+a3 =14,a1+a2+a3+…+a6 =126, 所以a4+a5+a6 =112=(a1+a2+a3 )q 3 , 所以q 3=8,得q=2. 由a1+2a1+4a1 =14,解得a1 =2,即an =2 n . (2)因为an =2 n ,所以lg an =nlg 2. lg an+1 -lg an =(n+1)lg 2-nlg 2=lg 2. 即数列{lg an }是首项为lg 2,公差为lg 2的等差数列. 故 Tn =nlg 2+ 𝒏(𝒏-𝟏) 𝟐 lg 2= 𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐 lg 2
二分组转化法求和 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或 可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再 相加减 【典型例题2】己知在等比数列{an}中，1=1，且a1,2,g1成等 差数列. (1)求数列{a}的通项公式； (2)若数列{b}满足bm=2n-1+am,数列{bm}的前n项和为Sm,试比 较S,与n2+2的大小
导航 二 分组转化法求和 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或 可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再 相加减. 【典型例题2】已知在等比数列{an }中,a1 =1,且a1 ,a2 ,a3 -1成等 差数列. (1)求数列{an }的通项公式; (2)若数列{bn }满足bn =2n-1+an ,数列{bn }的前n项和为Sn ,试比 较Sn与n 2+2 n的大小
解：(1)设等比数列{a}的公比为q, 导航 01,2,3-1成等差数列，1=1， .2-aHs-1=a∴48g2, ∴.an=01qr-l=2r-l (2)由(1)知bm=2n-1+an=2n-1+2m-1, 则Sm=(1+1)+3+2)+(5+22)+…+(2-1+2m-) =[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2m-1) r2aDn2+21 2 .Sn-(n2+2"=-1<0,∴Sn<1n2+2n
导航 解:(1)设等比数列{an }的公比为q, ∵a1 ,a2 ,a3 -1成等差数列,a1 =1, ∴2a2=a1+(a3-1)=a3,∴q= 𝒂𝟑 𝒂𝟐 =2, ∴an=a1q n-1=2 n-1 . (2)由(1)知bn =2n-1+an =2n-1+2 n-1 , 则Sn =(1+1)+(3+2)+(5+2 2 )+…+(2n-1+2 n-1 ) =[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+2 2+…+2 n-1 ) = 𝟏+(𝟐𝒏-𝟏) 𝟐 ·n+𝟏-𝟐 𝒏 𝟏-𝟐 =n2 +2 n -1. ∵Sn -(n 2+2 n )=-1<0,∴Sn<n2+2 n
导 解题技巧1.若数列{c}的通项公式为cn=an±bm且{an,{bn} 为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{c}的前 n项和. an,n为奇数 2.若数列{c}的通项公式为cm= bn,n为偶数， 其中数列{an}, {b}是等比数列或等差数列，则也可采用分组求和法求{c}的 前n项和
导航 解题技巧 1.若数列{cn }的通项公式为cn =an±bn ,且{an },{bn } 为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn }的前 n项和. 2.若数列{cn }的通项公式为cn= 其中数列{an }, {bn }是等比数列或等差数列,则也可采用分组求和法求{cn }的 前n项和. 𝒂𝒏,𝒏为奇数, 𝒃𝒏,𝒏为偶数