阶段总结上海师坛大学Shanghai Normal University，向量空间的概念。一些例子。·向量空间的性质。接下来我们来关注向量空间的一类特殊子集。149
阶段总结 • 向量空间的概念。一些例子。 • 向量空间的性质。 接下来我们来关注向量空间的一类特殊子集。 149
向量空间（VectorSpace）子空间
向量空间 (Vector Space) 子空间
上海师坛大学R2中的例子0Shanghai NormalUniversit让我们从一个简单的例子看起。考察R2中的子集：：L1=((x,0)/xER)也是一个向量空间。.L2=((x,x+1)IxER)不是一个向量空间。显然并不是所有的子集都是向量空间。我们称这样的子集为子空间。151
R 2 中的例子 让我们从一个简单的例子看起。考察 R 2 中的子集： • L1 = {(x, 0) | x ∈ R} 也是一个向量空间。 • L2 = {(x, x + 1) | x ∈ R} 不是一个向量空间。 显然并不是所有的子集都是向量空间。我们称这样的子集为子空间。 151
子空间的定义上海饰境大学Shanghai Normal University定义52[子空间（Subspace)]给定一个向量空间V，如果W是V的一个非空子集，并且满足如下两个条件1对于任意的u,vEW,u+vEW。2对于任意的cER和uEW,cuEW。则称W是V的一个子空间。定理53.如果W是向量空间V的一个子空间，则W对于V上定义的加法和数乘运算构成一个向量空间。152
子空间的定义 定义 52 [子空间 (Subspace)]. 给定一个向量空间 V，如果 W 是 V 的一个非空子集，并且 W 满足如下两个条件： 1. 对于任意的 u, v ∈ W，u + v ∈ W。 2. 对于任意的 c ∈ R 和 u ∈ W，cu ∈ W。 则称 W 是 V 的一个子空间。 定理 53. 如果 W 是向量空间 V 的一个子空间，则 W 对于 V 上定义的加法和数乘运算构成一个向 量空间。 152
子空间的例子(1)上海饰境大学Shanghai Normal Universit考察如下集合：V=R3W=(x,y,o) Ix,y E R)则W是V的一个子空间，原因在于：：对于任意的u=(x1y1,0),V=(x2,y20)eW,u+V=(x1+x2,y1+y2,0)eW。.对于任意的ceR和u=(x,y,o)eW,cu=(cx,cyo)eW。153
子空间的例子 (I) 考察如下集合： V = R 3 W = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} 则 W 是 V 的一个子空间，原因在于： • 对于任意的 u = (x1, y1, 0), v = (x2, y2, 0) ∈ W，u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 0) ∈ W。 • 对于任意的 c ∈ R 和 u = (x, y, 0) ∈ W，cu = (cx, cy, 0) ∈ W。 153