例子-R()上海饰烧大荟Shanghai Normal Universit假设我们遵循着Rn的例子推广，则R应该是这样的：·Roo=(xi,x2,...) /对所有的i,x,ER)。.c(x1,x2,.-.) =(cx1,cx2,...)。. (x1, x2,..-) + (y1, y2, ..) = (x1 + y1, x2 + y2,...)。但问题是：(x1, x2,...)是什么？函数！144
例子-R ∞(I) 假设我们遵循着 R n 的例子推广，则 R ∞ 应该是这样的： • R ∞ = {(x1, x2, · · ·) | 对所有的 i, xi ∈ R}。 • c(x1, x2, · · ·) = (cx1, cx2, · · ·)。 • (x1, x2, · · ·) + (y1, y2, · · ·) = (x1 + y1, x2 + y2, · · ·)。 但问题是： (x1, x2, · · ·) 是什么？ 函数！ 144
例子-R(I)上海饰烧大筝Shanghai Normal Uriversity定义集合F：F=F(N→R)=(fIf:N→R)·给定f1.f2EF，定义函数fi+f2：F→R为(f1+f2)(x)=fi(x)+f2(x·对于任意的fEF和cER，定义函数cf:N→R为：(cf)(x) = cf(x)可以验证，F是一个向量空间。145
例子-R ∞(II) 定义集合F: F = F(N → R) = {f | f : N → R} • 给定 f1, f2 ∈ F，定义函数 f1 + f2 : F → R 为： (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) • 对于任意的 f ∈ F 和 c ∈ R，定义函数 cf : N → R 为： (cf)(x) = cf(x) 可以验证，F是一个向量空间。 145
一个更奇怪的例子上海饰烧大筝1Shanghai Normal Universit我们再来看一个例子，考虑如下的集合：V+=R+=(x/xERandx>0).对于任意的x,yeV+，定义加法运算甲x@y为x@y=xy。.对于任意的xEV+和cER，定义数乘运算cx为cx=xc可以验证，V+是一个向量空间。146
一个更奇怪的例子 我们再来看一个例子，考虑如下的集合： V+ = R + = {x | x ∈ R and x > 0} • 对于任意的 x, y ∈ V+，定义加法运算⊕: x ⊕ y 为 x ⊕ y = xy。 • 对于任意的 x ∈ V+ 和 c ∈ R，定义数乘运算⊗: c ⊗ x 为 c ⊗ x = x c。 可以验证，V+ 是一个向量空间。 146
些性质（I)上海饰烧大筝Shanghai Normal University引理48.零向量0是唯一的。证明.反设存在两个零向量01.02，则有：01=01+02=02+01=02口引理49.对于任何向量v，其负向量是唯一的。证明.反设存在两个负向量v1;V2则有：Vi = V1+ 0= V1+ (V+ V2) = (V1+ V)+ V2= 0+ V2 = V2口147
一些性质 (I) 引理 48. 零向量 0 是唯一的。 证明. 反设存在两个零向量 01, 02，则有： 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 引理 49. 对于任何向量 v，其负向量是唯一的。 证明. 反设存在两个负向量 v1, v2，则有： v1 = v1 + 0 = v1 + (v + v2) = (v1 + v) + v2 = 0 + v2 = v2 147
些性质(I)上海师坛大学Shanghai Normal University引理50[向量的消去律（CancellationLaw)]如果u+v=u+w，则v=w引理51.1.0v=02c0=0.3. (-1)v=-V。4-(u+v)=(-u)+(v)5. c(-u) = (-c)u =-(cu)148
一些性质 (II) 引理 50 [向量的消去律 (Cancellation Law)]. 如果 u + v = u + w，则 v = w。 引理 51. 1. 0v = 0。 2. c0 = 0。 3. (−1)v = −v。 4. −(u + v) = (−u) + (−v). 5. c(−u) = (−c)u = −(cu). 148