上海饰烧大学向量空间的形式化定义（I）Shanghai NormalUniversit其中的数乘满足如下的性质：5.数乘存在单位元1，使得1u=u对于任意的uEV。6.数乘满足结合律：Ci(C2u) = (C1C2)u7.数乘是线性的，即对于任意的cER和u,VEW均有：c(u+v) =cu+cv8.数乘对于加法满足分配律，即对于任意的c1,C2ER和uEV均有(ci+C2)u=ciu+c2u139
向量空间的形式化定义 (III) 其中的数乘满足如下的性质： 5. 数乘存在单位元 1，使得 1u = u 对于任意的 u ∈ V。 6. 数乘满足结合律： c1(c2u) = (c1c2)u 7. 数乘是线性的，即对于任意的 c ∈ R 和 u, v ∈ V 均有： c(u + v) = cu + cv 8. 数乘对于加法满足分配律，即对于任意的 c1, c2 ∈ R 和 u ∈ V 均有： (c1 + c2)u = c1u + c2u 139
上海饰烧大筝例子-矩阵组成的向量空间（0)Shanghai Normal Universit对于m,n≥1,令Mmxn(R）表示所有的m×n的实数矩阵的集合：·其中的加法就定义成矩阵的加法。·其中的数乘就定义成矩阵的数乘。可以验证，Mmxn(R）是一个向量空间。140
例子-矩阵组成的向量空间 (I) 对于 m, n ⩾ 1，令Mm×n(R)表示所有的 m × n 的实数矩阵的集合： • 其中的加法就定义成矩阵的加法。 • 其中的数乘就定义成矩阵的数乘。 可以验证，Mm×n(R)是一个向量空间。 140
上海饰烧大筝例子-矩阵组成的向量空间（II)Shanghai Normal Universit·矩阵的加法满足交换律和结合律。：其零元为全零矩阵0mxn，即所有的入口都是0。对于任意的MEMmxn(R)，其负元-M为：-M=(-1)M·数乘的单位元就是1ER.·数乘满足结合律和分配律。·数乘满足线性性质。141
例子-矩阵组成的向量空间 (II) • 矩阵的加法满足交换律和结合律。 • 其零元为全零矩阵 0m×n, 即所有的入口都是 0。 • 对于任意的 M ∈ Mm×n(R)，其负元 −M 为：−M = (−1)M. • 数乘的单位元就是 1 ∈ R. • 数乘满足结合律和分配律。 • 数乘满足线性性质。 141
上海师坛大学例子-只有一个向量的向量空间Shanghai Normal University有没有只有一个向量的向量空间呢？有。只有一个元素的向量空间Zo = (0)是一个向量空间。可以认为R是Z。的一个特殊情况。142
例子-只有一个向量的向量空间 有没有只有一个向量的向量空间呢？ • 有。 只有一个元素的向量空间 Z0 = {0} 是一个向量空间。可以认为 R 0 是 Z0 的一个特殊情况。 142
例子R2R3上海饰烧大学ShanghaiNormal University通过前面所叙述的向量加法和数乘，可以验证R是一个向量空间。x]所有组成的集合R2。yX所有组成的集合R3UZ问题47.能否将R"中推广到R中？143
例子 R 2 , R 3 , · · · 通过前面所叙述的向量加法和数乘，可以验证 R n 是一个向量空间。 • 所有 " x y # 组成的集合 R 2。 • 所有 x y z 组成的集合 R 3。 • · · · 问题 47. 能否将 R n 中推广到 R ∞ 中？ 143