第三节平面及其方程Ⅱ上一点M。（x，Y，z）和它的一个法线向量n=（A，B，C）为已知时，平面Ⅱ的位置就完全确定了，下面我们来建立平面Ⅱ的方程设M（x，Y，z）是平面Ⅱ上的任一点（图8-30）.则向量M.M必与平面Ⅱ的法线向量n垂直，即它们的数量积等于零n.M.M=0.因为n=(A,B,C),MM=(x-xo,y-yo,z-z),所以有A(x-x)+B(y-yo)+C(z-z) =0.图8-30(3-3)这就是平面Ⅱ上任一点M的坐标x，y，z所满足的方程反过来，如果M（x，y，z）不在平面IⅡI上，那么向量M。M与法线向量n不垂直，从而n·M。M￥0，即不在平面Ⅱ上的点M的坐标x，y，z不满足方程（3-3）由此可知，平面ⅡI上的任一点的坐标x，，z都满足方程（3-3）；不在平面Ⅱ上的点的坐标都不满足方程（3-3）.这样方程（3-3）就是平面Ⅱ的方程，而平面Ⅱ就是方程（3-3）的图形.因为方程（3-3）是由平面Ⅱ上的一点M。（x.yo，z）及它的一个法线向量n=（A，B，C）确定的，所以方程（3-3）叫做平面的点法式方程例1求过点（2，-3,0）且以n=（1，-2,3）为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程（3-3），得所求平面的方程为(x-2)-2(y+3)+3z=0,即x-2y+3z-8=0例2求过三点M,（2，-1,4）、M,（-1,3，-2）和M,（0,2,3）的平面的方程解先找出这平面的法线向量n.因为向量n与向量M,M,和M,M，都垂直，而MM，=（-3.4，-6）.M.M、=（-2.3-1）.所以可取它们的向量积为n，即ik-34n=MM,xMM,=-6=14i+9j-k,-231根据平面的点法式方程（3-3），得所求平面的方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即14x+9y-z-15=0.·25
第八章向量代数与空间解析几何三、平面的一般方程因为平面的点法式方程（3一3）是x、Y和z的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，设有三元一次方程Ax +By+Cz+D=0.(3 -4)我们任取满足该方程的一组数xo，yo，zo，即Axo+Byo+Czo+D=0.(3-5)把上述两等式相减，得A(x-x)+B(y-yo)+C(z-z)=0.(3-6)把它和平面的点法式方程（3-3）作比较，可以知道方程（3-6）是通过点M。（xg，y，z）且以n=（A,B，C）为法线向量的平面方程.但方程（3-4）与方程（3-6）同解，这是因为由（3-4）减去（3-5）即得（3-6），又由（3-6）加上（3-5）就得（3-4）.由此可知，任一三元一次方程（3-4）的图形总是一个平面.方程（3-4）称为平面的一般方程，其中x、y、z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标。即n=(A,B,C)例如，方程3x-4y+z-9=0.表示一个平面，n=（3，-4，1）是这平面的一个法线向量对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点当D=0时，方程（3-4）成为Ax+By+Cz=0，它表示一个通过原点的平面当A=0时，方程（3-4）成为By+Cz+D=0，法线向量n=（0,B.C）垂直于x轴，方程表示一个平行于（或包含）x轴的平面同样，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0分别表示一个平行于（或包含）y轴和z轴的平面D当A=B=0时，方程（3-4）成为Cz+D=0或z=：，法线向量n=（0.0.C）C同时垂直轴和y轴，方程表示一个平行于（或重合于）xOy面的平面同样，方程Ax+D=0和By+D=0分别表示一个平行于（或重合于）yOz面和xOz面的平面例3求通过x轴和点（4，-3，-1）的平面的方程.解由于平面通过×轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是法线向量在x·26·
第三节平面及其方程轴上的投影为零，即A=0；又由平面通过x轴，它必通过原点，于是D=0.因此可设这平面的方程为By + Cz =0.又因这平面通过点（4，-3，-1），所以有-3B-C=0或C=-3B.以此代入所设方程并除以B（B关0），便得所求的平面方程为y-3z=0ZA例4设一平面与x、y和z轴的交点依次为RP（a,0.0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c）)三点（图8-31),求这平面的方程（其中a0，b半0，c≠0解设所求平面的方程为OAx+By+ Cz+D=0.3QI因P（a00）、Q（0,b0）和R（0,0c）三点都在这平面上，所以点P、Q和R的坐标都满足方程（3-4），即有图8-31aA+D=0.bB+D=0,LcC+D=0,解得DDDB :C=A=60c以此代人（3-4）并除以D（D0），便得所求的平面方程为X+2=1.+(3 -7)bac方程（3-7）叫做平面的截距式方程，而a、b和c依次叫做平面在xy和z轴上的截距，四、两平面的夹角两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角设平面IⅡI和Ⅱl的法线向量依次为n，=（AB，C,）和n，=（AB,C,），AA则平面Ⅱ和Ⅱ的夹角（图8-32）应是（n,n）和（-n,n）=-（n,nz）:27:
第八章向量代数与空间解析几何A两者中的锐角或直角，因此，cos?=lcos（n,，n,）1.按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面Ⅱ和平面Ⅱ，的夹角可由IA,A, +B,B, + C,C,1(3-8)cose:A+B+CA+B+C来确定图8-32从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：ⅡⅡ,互相垂直相当于AA,+BB,+CC=OABC,ⅡⅡ，互相平行或重合相当于AB,C,例5求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角解由公式（3-8）有11×2+（-1)×1+2×111cos0=2+（-1)*+2/2*+1*+1因此，所求夹角9=3例6一平面通过两点M（1,1,1）和M,（0,1，-1)且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程解设所求平面的一个法线向量为n=(A,B,C).因M,M，=（-1,0，-2)在所求平面上，它必与n垂直，所以有(3-9)-A-2C=0又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.(3 -10)由（3-9）、（3-10)得到A=-2C,B=C.由平面的点法式方程可知，所求平面方程为A(x-1)+B(Y-1)+C(z-1)=0将A=-2C及B=C代人上式.并约去C（C手0）.便得-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0.即2x-y-z=0.这就是所求的平面方程，·28
第三节平面及其方程例7设P。（xo，yo，z）是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求P。到这平面的距离（图8-33）n解在平面上任取一点P（x，，z），并作一法线向量n，由图8-33并考虑到P,P。与n的夹角也可能是钝角，得所求的距离_IP,P。.nld = [P P.I /cos @| =Inl图8-33而n=(A,B,C),P,P,=(x-x,,yo-yi,zo -z,),得P,P。· nA(xo-x,) +B(yo-y,)+C(zo-z,)InlVA"+B"+C?Axo+Byo+Czo-(Ax +Byi+Cz,)VA"+B"+C?因为Ax,+By+Cz,+D=0所以P,P。·n_Ax+By。+Czo+DInlA+B+C?由此得点P。（xo,yo，z）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式IAx。+Byo+Czo+DId(3 -11)VA+B+C?例如，求点（2,1,1）到平面x+y-z+1=0的距离，可利用公式（3-11），便得11×2+1×1-1×1+113d=/3.V3+1+(-1)习题8-31.求过点（3.0，-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程2.求过点M.（2.9，-6）且与连接坐标原点及点M的线段0M。垂直的平面方程3.求过M（1,1，-1）、M,（-2，-2,2）和M,（1，-12）三点的平面方程4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：(1)x=0;(2)3y-1=0;(3)2x-3y-6=0;(4)x-/3=0;(6)x-2z=0;(5)y+z=l;(7)6x+5y-z=0:29