第八章向量代数与空间解析几何5.求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦6.一平面过点（1,0，-1）且平行于向量a=（2,11）和b=（1，-10），试求这平面方程7.求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0，-x+2y+2z=3的交点8.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于x0z面且经过点（2，-5,3）（2）通过z轴和点（-3,1，-2）；（3）平行于x轴且经过两点（40，-2）和（5,1.7），9.求点（1.2.1）到平面×+2y+2z-10=0的距离第四节空间直线及其方程一、空间直线的一般方程空间直线L可以看做是两个平面Ⅱ和Ⅱ，的交线（图8-34）.如果两个相ZA交的平面ⅡI，和IⅡI,的方程分别为Ax+B,y+11,Cz+D,=0和Azx+B,y+C,z+D,=0,那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组JAx+B,y+C,z+D,=0,(4-1)[A,x+B2y+C,z+D,=0图8-34反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能同时在平面Ⅱ和Ⅱ，上，所以它的坐标不满足方程组（4-1）.因此，直线L可以用方程组（4-1）来表示.方程组（4-1）叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做这条直线的方向向量由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线L上一点M。（xoyo，z。）和它的一方向向量s=（m，n，p）为已知时，直线L的位置就完全确定了，下面我们来建立这直线的方程设点M（x，y，z）是直线L上的任一点，则向量MM与L的方向向量s平行30
第四节空间直线及其方程（图8-35）.所以两向量的对应坐标成比例，由于M。M=（x-x，y-yo，z-z），s=（m，n，p），从而有ZAsx-xo_y-yo_z-zo.0L(4-2)mnPMM反过来，如果点M不在直线L上，那么由于M。M与sA不平行，这两向量的对应坐标就不成比例.因此方程0组（4-2）就是直线L的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程图8-35直线的任一方向向量s的坐标m、n和p叫做这直线的一组方向数，而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦。由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程.如设x-xoy-Yo2-Z0=tmnP则xo+mt(4 -3)=yo+nt=zo +pt.方程组（4-3）就是直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线[x+y+z+l=0,(4 -4)2x-y+3z+4=0解先找出这直线上的一点（xyo，z）.例如，可以取x。=1,代入方程组（4-4）,得[y+z=-2,y-3z=6解这个二元一次方程组，得yo=0,zo=-2,?当m、n和p中有一个为零，例如m=0，而n与p半0时，这方程组应理解为-0=0-y0_2-20当mn和p中有两个为零，例如m=n=0，而p季0时，这方程组应理解为-%0=0,y-yo=0..31 :
第八章向量代数与空间解析几何即（1，0，-2）是这直线上的一点下面再找出这直线的方向向量s.因为两平面的交线与这两平面的法线向量n，=（1,1，1）,n，=（2，-1,3）都垂直，所以可取kij111=4i-j-3k.s=n,xn,=23-1因此，所给直线的对称式方程为-2+241--3令+2=t，得所给直线的参数方程为4-31rx=1+4t,y=-t,z=-2-31.三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角或直角）叫做两直线的夹角设直线,和L的方向向量依次为s,=（m，nP）和,=（mzn2P），则L4和L的夹角应是（s,s,）和（-S,,s,）=T-（s,s,）两者中的锐角或直角，因此cosβ=lcos（s，s,）I.按两向量的夹角的余弦公式，直线L，和直线L,的夹角可由Im,m,+n,n,+piP,!(4-5)cOS=m,+n,+pimz+n,+p来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：两直线L,和L,互相垂直相当于mm,+nnz+PP,=0；mi.n_P两直线L，和L，互相平行或重合相当于mznP2+2的夹角x-1=y-z+3和L2例2求直线L，--2--1一-41解直线L，的方向向量为S，=（1，-4，1），直线L，的方向向量为S=（2，-2，-1）.设直线L，和L，的夹角为则由公式（4-5）有I1×2+(-4)×(-2) +1×(-1)lcosP:V*+(-4)"+1/2*+(-2)+(-1)/2·32·
第四节空间直线及其方程所以T64四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角0≤6<称为真线与平面的夹角（图8-36），当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为设直线的方向向量为s=（m，n，p），平面图8-36的法线向量为n=（A,B,C），直线与平面的夹-（s,n）,因此sinβ=Icos（s,n）l.按两向量夹角余弦的坐角为，那么=标表示式，有IAm+Bn+Cpl(4 -6)sin =A?+B?+C?m?+n+p因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以，直线与平面垂直相当于A-B-C(4 -7)mnP因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.(4 -8)例3求过点（1，-2,4）且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程解因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量（2，-3，1）作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为x-1_y+2_z-421-3五、杂例例4求与两平面×-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点（-3,2,5）的.33
第八章向量代数与空间解析几何直线的方程，解法一因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s定同时与两平面的法线向量n，、n，垂直，所以可以取ijk0-41=-（4i+3j+k),s=n, xn,=2-1-5因此所求直线的方程为x+3_y-2_z-5431解法二过点（-3，2,5）且与平面x-4z=3平行的平面的方程为x-4z=-23,过点（-3，25）且与平面2x-y-5z=1平行的平面的方程为2x-y-5z=-33,所求直线为上述两平面的交线，故其方程为[x-4z=-23,[2x-y-5z=-33.例5求直线2=—3号4与平面2x+y+：-6=0的交点。112解所给直线的参数方程为x=2+t,y=3+t,z=4+21,代人平面方程中，得2(2+1)+（3+t)+（4+2t)-6=0解上列方程，得t=-1.把求得的值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为x=1,y=2,z=2.例6求过点(2,1,3)且与直线=号=垂直相交的直线的方程32解先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线，那么这平面的方程应为(4 -9)3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0.再求已知直线与这平面的交点.已知直线的参数方程为(4-10)x=-1+3t,y=1+2t,z=-t3213，从而求得交点为把（4-10）代人（4-9）中求得t=7.7,-7213以点（2,1,3）为起点，点(为终点的向量7.7,:34