第八章向量代数与空间解析几何由于AB=（2,2,2），AC=（1,24），因此kijAB×AC-222=4i-6j+2k,124于是号14i-6j+2k] =/4+（-6)+2=/14SAABC22例6设刚体以等角速度绕1轴旋转，计算刚体W上一点M的线速度解刚体绕1轴旋转时，我们可以用在1轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它M的方向由右手规则定出：即以右手握住！轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向（图8-25）.设点M到旋转轴1的距离为a，再在1轴上任取-2点0作向量r=OM，并以6表示与r的夹角，则a=lrlsin e图8-25设点M的线速度为，由物理学上线速度与角速度间的关系可知，的大小为lvl=lola=lllrlsino:的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即垂直于の与r又的指向是使r、符合右手规则.因此有v=wxr.三、向量的混合积设已知三个向量a、b和c.先作两向量a和b的向量积axb.把所得到的向量与第三个向量c再作数量积（axb）·c，这样得到的数量叫做三向量a、b、c的混合积，记作[abc].下面我们来推出三向量的混合积的坐标表示式，设a=（ar,a,,a),b=（b,,b,,b,),c=（c..c,.c),因为k1ja,a.axb:a,b.b.b,?20
第二节数量积向量积·混合积6bbb再按两向量的数量积的坐标表示式，便得[abc]=(axb)·ca,aabbbabyb.Cxcyc.向量的混合积有下述几何意义：向量的混合积「abcl=（axb）·c是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.如果向量a、b、c组成右手系（即c的指向按右手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是正的；如果a、b、c组成左手系（即c的指向按左手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是负的.事实上，设OA=a,OB=b,oC=c.按向量积的faxb=f定义，向量积a×b=f是一个向量，它的模在数值上等于以向量a和b为边所作平行四边形OADB的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当a、b、c组成右手系时，向量与向量c朝着这平面的DA同侧（图8-26）；当a、b、c组成左手系时，向量f与向量c朝着这平面的异侧.所以，如设f与c的夹角图8-26为α，那么当a、b、c组成右手系时，α为锐角；当a、b、c组成左手系时，α为钝角.由于[abc]=(axb)-c=laxbllclcosα,所以当a、b、c组成右手系时，[abc]为正；当a、b、c组成左手系时，[abc]为负，因为以向量a、b、C为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB）的面积S在数值上等于la×bl，它的高h等于向量c在向量上的投影的绝对值，即h=IPri,cl=lcllcosαl,所以平行六面体的体积V=Sh=laxbllcllcosαl=l[abc]l.由上述混合积的几何意义可知，若混合积[abc]≠o，则能以a、b、c三向量为棱构成平行六面体，从而a、b、c三向量不共面：反之，若a、b、c三向量.21
第八章向量代数与空间解析几何不共面，则必能以a、b、c为棱构成平行六面体，从而[abc]≠0.于是有下述结论：三向量a、b、c共面的充分必要条件是它们的混合积[abc]=0,即axaya,bbb=0.cc.c.例7已知不在一平面上的四点：A（x，y，z）、B（x2，J2，z）、C（x,y3,z）、D（x4，y4，z4）.求四面体ABCD的体积解由立体几何知道，四面体的体积V等于以向量AB、AC和AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.因而1[AB AC AD] ]V=6由于AB=(x2 -x1,y2 -y1,22 -2,),AC =(x, -,y, -y,2, -2,),AD =(x4 -X1,y4 -1,z4 -2,),所以x2-x,Z2 - 21Y2-V=X3-x,23 -21Y-Yi6ZA-ZIx4x,YA-y上式中符号的选择必须和行列式的符号一致，例8已知A（1,2.0）、B（23,1）、C（4,2,2）、M（x，y,z)四点共面，求点M的坐标x、y、z所满足的关系式.解A、B、C、M四点共面相当于AM、AB、AC三向量共面，这里AM=（x-1,y-2,2），AB=（1,1,1），AC=（3,0,2).按三向量共面的充分必要条件，可得x-1y-2N11=0,230即2x+y-3z-4=0这就是点M的坐标所满足的关系式。·22
第三节平面及其方程习题8-21.设a=3i-j-2k.b=i+2j-k,求（1）a·b及a×b：（2）（-2a）·3b及ax2b：（3）a、b的夹角的余弦2.设ab、为单位向量，且满足a+b+c=0,求a·b+b·c+c·a.3.已知M,（1，-1,2）、M,（3,3,1）和M,（3,1,3）.求与MM，MM同时垂直的单位向量，4.设质量为100kg的物体从点M，（31.8）沿直线移动到点M,（1，4，2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z轴负方向）5.在杠杆上支点0的一侧与点0的距离为x，的点P,处，有一与OP成角9,的力F，作用着：在0的另一侧与点0的距离为x的点P处，有一与OP成角,的力F，作用着（图8-27).间6,、021x2、IF,1、IF,1符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？F2F.610x.NOP2PI图8-276.求向量a=（4，-3,4）在向量b=（2,2,1）上的投影7.设a=（35，-2），b=（21,4），问入与μ有怎样的关系，能使得入a+ub与z轴垂直？8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角。9.已知向量a=2i-3j+k，b=i-j+3k和c=i-2i.计算：(1)(a.b)c-(a.c)b;(2)(a+b)x(b+c):(3)(axb).c.10.已知OA=i+3kOB=j+3k求△0AB的面积11。已知a=（a,,a,a,）,b=（b,,b,,b,）,c=（c,c,c)，试利用行列式的性质证明：(axb).c=(bxc).a=(cxa).b.12.试用向量证明不等式：a,+az+a,b+b,+b,≥la,b,+azb,+ab,l,其中a,，a2,as，b,，b2,b,为任意实数并指出等号成立的条件第三节平面及其方程、曲面方程与空间曲线方程的概念因为平面与空间直线分别是曲面与空间曲线的特例，所以在讨论平面与空·23
第八章向量代数与空间解析几何间直线以前，先引人有关曲面方程与空间曲线方程的概念像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹，在这样的意义下，如果曲面S与三元方程(3 -1)F(x,Y,z)=O有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（3-1）：（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（3-1）那么，方程（3-1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（3-1）的图形（图8-28）空间曲线可以看作两个曲面S，S，的交线.设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0分别是这两个曲面的方程，它们的交线为C（图8-29）.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组[F(x,y,2) =0,(3-2)[G(x,y,z) =0.2F(xRz)=0y图8-29图8-28反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（3-2）.因此，曲线C可以用方程组（3-2）来表示.方程组（3-2）就叫做空间曲线C的方程，而曲线C就叫做方程组（3-2）的图形在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线一一平面和直线二、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于二平面，这向量就叫做该平面的法线向量.容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直，因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面·24: