第二节数量积向量积“混合积a.a=lalcos0=lal2（2）对于两个非零向量ab，如果a·b=o，那么a1b；反之，如果ab，那么a·b=0晋，即这是因为如果a·b=0，由于lal≠0，lbl0，所以cosa=0，从而=2TTab;反之，如果ab，那么=，cos=0于是a·b=lallblcos6=07由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，上述结论可叙述为：向量a工b的充分必要条件是a·b=0.数量积符合下列运算规律：（1）交换律a·b=b·a.证根据定义有a.b=lallblcos(a,b),b.a=lbllalcos(b,a),而lalibl=lbllal,且cos（a,b)=cos（ba)所以ab=ba（2）分配律(a+b).c=a·c+b·c证当c=0时，上式显然成立；当c≠0时，有(a+b)·c=lclPrj.(a+b),由投影性质2，可知Prj.(a+b)=Prja+Prj.b,所以(a+b)·c=lcl(Prj,a+Prjb)=lclPrj,a+lclPrj,b=ac+b.c.（3）数量积还符合如下的结合律：（入a）·b=入（a·b），入为数证当b=0时，上式显然成立；当b≠0时，按投影性质3，可得(^a)·b=IbiPrj,(a)=Ibl^Prj,a=lbiPrj,a=入(a·b).由上述结合律，利用交换律，容易推得a.（入b)=入(a.b)及(入a).(μb)=入u(a.b)这是因为a·(入b)=(入b)-a=入(b.a)=入(a.b);:15:
第八章向量代数与空间解析几何(^a).(ub)=^[a·(μub)]=^[μ(a·b)]=^μu(a.b).例1试用向量证明三角形的余弦定理。证设在△ABC中，ZBCA=6（图8-20），IBCI=a,ICAI=b,IABI=c,要证=a?+62-2abcos0记CB=a,CA=b,AB=c,则有ec=a-b,a从而图8-20lcl2=c.c=(a-b).(a-b)=a.a+b.b-2ab=lal2+lbl2-2laliblcos(a,b).A由lal=a,lbl=b,lcl=c及（a,b）=,即得c?=a2+b?-2abcos0.下面我们来推导数量积的坐标表示式设a=ai+a,j+ak,b=bi+b,j+bk.按数量积的运算规律可得ab=(ai+aj+ak)·(bi+bj+bk)=ai·（bi+bj+bk)+aj.（bi+bj+bk)+ak.(bi+bj+bk)=abi.i+abi.j+abi.k+a,b,j.i+a,b,j.j+abj.k+abk.i+abk.j+abk.k因为ij和k互相垂直.所以i.j=j·k=k·i=o,j·i=k·j=i.k=0.又因为ij和k的模均为l,所以i·i=jj=k·k=l.因而得a.b=ab,+ab+ab.这就是两个向量的数量积的坐标表示式。因为a·b=lallblcos6.所以当a与b都不是零向量时有abcos =lallbl将数量积的坐标表示式及向量的模的坐标表示式代入上式，就得a.b,tab,+a.bcos:Va+a,+a.ybi+b'+b这就是两向量夹角余弦的坐标表示式例2已知三点M（1,1,1）、A（2,2,1）和B21,2），求ZAMB解作向量MA及MB，ZAMB就是向量MA与MB的角.这里，MA=（11,0）,MB=（1,0,1）,从而-16-
第二节数量积向量积混合积MA.MB=1×1+1×0+0×1=1,IMAI=1+1+0?=V2.IMBI=+0?+1=2代人两向量夹角余弦的表达式，得MA.MB11COS ZAMB-2IMAIIMBI2.V2由此得LAMB=T3例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（常向量）.设n为垂直于S的单位向量（图8-21（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量m（液体的密度为p）.(a)(b)图8-21解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为11的斜柱体（图8-21（b））.这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是与n的夹角，所以这柱体的高为lIcos9，体积为AlVIcosQ=Av·n.从而，单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量为m=pAv.n.二、两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩，下面就举一个简单的例子来说明表达力矩的方法，设0为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与OP的: 17:
第八章向量代数与空间解析几何夹角为6（图8-22）由力学规定，力F对支点0的力矩是一向量M.它的模IMI=IOQIIFI=IOPIIFIsin0而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是按右手规则从OP以不超过T的角转向F来确定的，即当右手的四个手指从OP以不超过T的角转向F握拳时，大拇指的指向就是M的指向（图8-23）.P04LM=OPXF图8-23图8-22这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况，在其他力学和物理问题中也会遇到.于是从中抽象出两个向量的向量积概念。设向量c由两个向量a与b按下列方式定出：c的模lcl=laliblsine，其中a为a、b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面（即c既垂直于a，又垂直于b），c的指向按右手规则从a转向b来确定（图8-24），向量c叫做向量a与b的向量积，记作c-axbaxb即图8-24c=axb.按此定义，上面的力矩M等于OP与F的向量积，即M=oPxF.由向量积的定义可以推得：(1)axa=0.这是因为夹角=0.所以la×al=lalsin0=0（2）对于两个非零向量a、b，如果a×b=0那么a//b；反之，如果a/b，那么axb=0.这是因为如果a×b=0，由于lal≠0，1bl≠0，那么必有sin6=0，于是=0或π，即a//b：反之，如果a/b，那么=0或π，于是sine=0，从而la×bl=0，即axb=0..18:
第二节数量积向量积混合积由于可以认为零向量与任何向量都平行，因此，上述结论可叙述为：向量a//b的充分必要条件是axb=0向量积符合下列运算规律：(l)bxa=-axb.这是因为按右手规则从b转向a定出的方向恰好与按右手规则从a转向b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立，（2）分配律(a+b)xc=axc+bxc.（3）向量积还符合如下的结合律：（入a）xb=ax（入b）=入（axb）（入为数）.这两个规律这里不予证明下面来推导向量积的坐标表示式设a=ai+aj+ak，b=bi+bj+bk.那么，按上述运算规律，得axb=(ai+aj+ak)x(bi+bj+bk)=aix(bi+bj+bk)+ajx(bi+bj+bk)+akx(bi+bj+bk）=ab(ixi)+ab(ixj)+ab.(ixk)+ab(jxi)+ab(jxj)+ab.(jxk)+ab,(kxi)+a.b,(kxj)+ab.(kxk).因为ixi=jxj=kxk=o、ixj=k、jxk=ikxi=j.jxi=-k、kxj=-i和ixk=-j,所以axb=(ab,-a.b,)i+(ab,-a,b,)j+(a.b,-a,b,)k为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成ikjaxb=a.a,a.b.bb.例4设a=（2,1，-1),b=（1-1,2),计算axb[ijk解21axb=-1=i-5j-3k.12-1例5已知三角形ABC的顶点分别是A（1,2,3）、B（3,4,5）和C（2,4,7），求三角形ABC的面积解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积JIABIIACIsin ZA =LIAB ×ACI.SAABC02.19