第八章向量代数与空间解析几何r=OM=OP+O0+OR按勾股定理可得1rl=10MI=10P/?+10Q1?+10R12由op=xi，oQ=yj，oR=zk，有[OP=1xl,1O0I=l,1ORI=Izl于是得向量模的坐标表示式Irl=V++z设有点A（x，y1，z）和点B（x2y2，22）则点A与点B间的距离1ABI就是向量AB的模.由AB-OB-OA=(X2,2,22)-(X1J1,21)=(x2 -x,,y2 -y1,22 -2)),即得A、B两点间的距离IABI =IABI=(x2-x,)"+(2-,)+(-2,)例4求证以M,（43,1）、M,（7,1,2）、M,（5,2,3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解因为IM,M,1 =(7-4)2 +(1-3)2 +(2-1)2=14,IM,M,/=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)=6,IM,M12=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)=6,所以IMMI=IM,M,I,即△MM,M，为等腰三角形例5在z轴上求与两点A（-4,1,7）和B（3,5，-2）等距离的点解因为所求的点M在2轴上，所以设该点为M（0,02），依题意有IMAI=IMBI,即(0+4)+（0-1)+（z-7)=(3-0）+(5-0)+（-2-2)两边平方，解得14Z39'因此,所求的点为M(o,例6已知两点4(（4.0,5）和B(7.1,3)，求与AB方向相同的单位向量ea解因为AB=0B-0A=(7,1.3)-(4.0.5)=(3,1,-2),所以:10:
第一节向量及其线性运算IABI=V32+12+（-2)*=14于是AB1(3,1,-2).erbIABIV142.方向角与方向余弦非零向量r与三条坐标轴的夹角αβ、称为向量r的方向角，从图8-15可见，设0M=r=（x,y,z），由于Mx是有向线段OP的值，MP1OP，故Xxcosα=10M-1rloP类似可知cosβ=Cos图8-15Irl从而(cos α,cosβ,cos)=(（青=(x,y,z) =:e1rcosα，cosβ,cos称为向量r的方向余弦.上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e，并由此可得cos α+ cosβ+cosy=1.例7已知两点M,（2,2,2）和M,（1,3,0），计算向量M,M,的模、方向余弦和方向角解MM,=(1-23-2,0-/2)=(-1,1,-/2),IMM,1=V(-1)2+12+(-/2)2=/1+1+2=/4=2V21江，cOsβ=cosα:2，COs232T3㎡B=T3，3，Y=4例8设点A位于第I卦限，向径0i与×轴、轴的夹角依次为晋和，且3A10A1=6,求点A的坐标.号，β=由关系式cosα+cos*β+cos*=1,得解α=3.Acos'=1-() -()-,:11
第八章向量代数与空间解析几何因点A在第I卦限，知cos>0，故1cosy:2于是（121)OA=10Alea=6()=(3,3 /2,3)222这就是点A的坐标.3.向量在轴上的投影如果撇开y轴和2轴，单独考虑x轴与向量r=0M的关系，那么从图8-15可见，过点M作与x轴垂直的平面，此平面与×轴的交点即是点P.作出点P，即得向量r在x轴上的分向量OP，进而由OP=xi，便得向量在x轴上的坐标x，且x=lrlcosα.一般地，设点0及单位向量e确定u轴（图8-16）任给向量r，作OM=r再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M（点M叫做点M在u轴上的投影），则向量OM称为向量r在u轴上的分向量.设OM=1入e，则数入称为向量r在u轴上的投影，记作Prj.rNe0VM或(r)..图8-16按此定义，向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标a.va,a就是a在三条坐标轴上的投影，即a,=Prj,a,a,=Prj,a,a,=Prja,或记作a=(a),a=(a),,a,=(a),由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质：性质1Prja=lalcos（即（a）=lalcosp），其中g为向量a与u轴的夹角；性质2Prj（a+b）=Prja+Prjb（即（a+b)=（a).+（b).）：性质3Prj,（入a）=入Prj,a（即（a）=入（a））.例9设正方体的一条对角线为OM、一条棱为OA，且1OAI=a，求OA在OM方向上的投影PrioOA.①向量r在向量a（a+0）的方向上的投影Pri。r是指r在某条与a同方向的轴上的投影。·12:
第一节向量及其线性运算解如图8-17所示，记ZM0A=Φ，有10AI1cosP10M3于是4aoAPrjonOA-10Alcos P:V3图8-17习题8-11.设u=a-b+2c=-a+3b-c.试用ab、c表示2u-3v.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D、D,D，D4，再把各分点与点A连接.试以AB=CBC=a表示向量DADADA和DA4.已知两点M（01,2）和M（1，-1.0）.试用坐标表示式表示向量MM及-2MM5.求平行于向量a=（6.7，-6）的单位向量6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1,-2,3),B(2,3,-4),C(2,-3,-4),D(-2,-3,1)7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A(3.4,0),B(0,4,3),C(3,0.0).D(0,-1,0)8.求点（a，b,c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴：（3）坐标原点的对称点的坐标9.自点P。（xc，y。，z）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标10.过点P（x，yo，z）分别作平行于轴的直线和平行于x0y面的平面.问在它们上面的点的坐标各有什么特点？11.一边长为a的正方体放置在x0y面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标12.求点M（4，-3,5）到各坐标轴的距离.13.在yOz面上，求与三点A（3,1,2）B（4，-2，-2）和C（0.5,1）等距离的点14.试证明以三点A（41，9）B（10，-1，6）、C（2，4.3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.15.设已知两点M（4,21）和M，（302），计算向量MM，的模方向余弦和方向角16.设向量的方向余弦分别满足（1）cosα=0：（2）cosβ=1：（3）cosα=(osβ=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角是，求r在u轴上的投影318.一向量的终点在点B（2，-17），它在x轴y轴和2轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A的坐标19.设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴:13
第八章向量代数与空间解析几何的投影及在y轴上的分向量第二节*混合积数量积向量积一、两向量的数量积设一物体在恒力F作用下沿直线从点M移动到点M，以S表示位移MM.由物理学知道，力F所作的功为W=IFllslcos @,其中6为F与s的夹角（图8-18）.从这个问题看出，我们有时要对两个向量a和b作这样的运算，运算的结果是一个数，它等于lal、b1及它们的夹角的余弦的乘积.我们把它叫做向量a与b的数量积，记作a·b（图8-19），即a.b=lal Iblcos 9.MM,a图8-18图8-19根据这个定义，上述问题中力所作的功W是力F与位移s的数量积，即W=F.S.由于iblcos=lblcos（a，b），当a半0时是向量b在向量a的方向上的投影，用Pri.b来表示这个投影，便有a.b=lalPrj.b,同理，当b≠0时有a-b=lbiPrja.这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积由数量积的定义可以推得：(1)a.a=lal2.这是因为夹角0=0，所以:14·