第四章函数的连续性 当y∈U+“(x,y)时,(1)成立由极限不等式性质知 g(x0)-2≤g(x)=mf(y)≤g(x0)+ 因此当x∈U+‘(x0,δ)时,有1g(x)-g(xo)|<e, 故g(x)在x0处右连续 9.举出定义在[0,1]上符合下述要求的函数 )只在2和4三点不连续的函数 (2)只在号,和三点连续的函数 (3)只在(n=1,2,3,…)上间断的函数; (4)只在x=0右连续,而在其他点都不连续的函数 解(1)f(x) 0,x是[0,1]中有理数 ()Xx)=1(x-1(x-23x-2),是0,]中无理数 (3)f(x)=[1 (4)f(x) x,x是[0,1]中无理数 x,x是[0,1]中有理数 §2连续函数的性质 1.讨论复合函数fg与gof的连续性,设 (1)f(x)=snx,g(x)=1+x2 (2)f(x)=sgnx,g(x)=(1-x2)x 解(1)由于f(x)=x,g(x)=1+x2,故(fg)x)=g(1+x2)=1 是连续函数.又因为 (g可)(x)=,2≠0 因此,x=0是gof的可去间断点,其余点处处连续
82连续函数的性质 (2)由于f(x)=sgx,g(x)=(1-x2)x,于是(gof)(x)≡0, 可见gof处处连续.因为 1,x∈(-∞,-1)U(0,1) (fg)(x)={0,x=-1,0,1 1,x∈(-1,0)U(1,+∞) 故x=-1,0,1是fg跳跃间断点 2.设∫,g在点x0连续,证明 (1)若f(x)>g(x0),则存在U(x,8),使在其内有∫(x)>g(x) (2)若在某U(x0)内有f(x)>g(x),则f(x0)≥g(x0) 证(1)由于f(x0)>g(x0),从而ef(x)-6(x)0,因 ∫在x连续,于是limf(x)=f(xo).因此,存在正数81,使得当 Ix-xo<δ1时,I∫(x)-f(x0)|<εo 可见f(x)>1(x)+g(z2)(1) 又因g在x0连续,从而存在正数a2,当|x-x0|<82 可见g(x)< f(x)+g(x0)(2) 现取♂=min81,a2},当|x-x0<8时,(1),(2)同时成立 因此∫(x)>g(x),x∈U(x0,8) (2)假设命题不真,从而f(x0)<g(x0),由(1)可知,存在xo的 某个邻域U(x0,δ),使f(x)<g(x),x∈U(x0,8) 这与x≠x0时,f(x)>g(x)矛盾,故f(x0)≥g(x0) 3.设fg在区间Ⅰ上连续,记F(x)=maxf(x),g(x)} G(x)=minf(x),g(x)证明F和G也都在I上连续 提示:利用第一章总练习题1 证:由F(x)=1f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)} G(x)=[f(x)+g(x)-1f(x)-g(x)1
第四章函数的连续性 又由,若f(x)在I上连续∴h(x)=1f(x)在I上也连续 由∫(x),g(x)在I上连续所以,F(x),G(x)在I上连续 4.设f为R上连续函数常数c>0,记 c,若f(x)<-c F(x)={f(x),若|f(x)≤c 若f(x)>c 证明F在R上连续 提示:F(x)=max{-c, minic,f(x) 证明因为F(x)=c+f(x)|-1c-f(z)l 由题设,f(x)在R上连续.从而!f(x)±c|在R上连续 所以F(x)在R上连续 5设八(x)=smx,g(x)={x-x,x≤0 证明:复合函数∫q x+π,x>0 在x=0连续,但g在x=0不连续 x-x,x≤0 证由于f(x)=sinx,g(x)= >0 sin(x-),x≤0 于是f(g(x)= n(x+x),x>0 mf(g(r))=lim sin(x-x)=0 lim fog(x)= lim sin(x+r)=o fog(0)=0 #h lim fog(z)=lim fog(x)=f og(0) 从而∫g(x)在x=0连续 1E lim g(x)=lim(r+r)=r, lim g(r)=lim(r-r)=-x r+o 于是x=0是g的跳跃间断点,从而g在x=0不连续 6.设∫在[a,+∞)上连续,且limf(x)存在.证明:f在 [a,+∞)上有界,又问f在[a,+∞)上必有最大值或最小值吗? 证由于imf(x)存在,不妨记limf(x)=A,对∈=1,存在正数