精品课程《数学分析》课外训练方案 第十三章函数列与函数项级数 基本概念 1、函数序列的一致收敛性概念 设函数列{n}与函数∫定义在同一个数集D上,若对任意的正数E,综存在一个正整 数N,使得当n>N时,对一切x∈D,都有 In(x)f(x)<E 则称函数列{n}在D上一致收敛于∫。记做fn(x)→f(x)(n→∞),x∈D。 2、函数级数的一致收敛性概念 设{n(x)是定义在数集E上的一个函数列,记Sn(x)=∑un(x),若 对VE,3N当n>N,x∈D,都有(x)-S(x)<6,则称函数项级数S(x)=∑un(x) 在E一致收敛 3、一致收敛判别法 ∑an(x)致收敛VE>0,3N,当n>N,vp 定理1(柯西一致收敛准则)m1 n(x)+an2(x)+……+an(x)<6 定理2(狄利克雷判别法)∑an(x)的部分和S(x)一致有界,v2(x)单调趋于0,则 ∑an(x)n(x)-致收敛 4、一致收敛函数列于函数项级数的性质 定理3设函数列{n}在(a,x0)∪(xnb)上一致收敛于f(x),且对每个n, lim f(x)=an,则 lim a和limf(x)均存在且相等。 定理4(连续性)若函数列{n}在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数 ∫在Ⅰ上也连续 定理5(可积性)若函数列{fn}在区间[ab]上一致收敛,且每一项都连续,则
精品课程《数学分析》课外训练方案 第十三章 函数列与函数项级数 一、基本概念 1、函数序列的一致收敛性概念 设函数列{f n }与函数 f 定义在同一个数集 D 上，若对任意的正数ε ，综存在一个正整 数 N ，使得当 n > N 时，对一切 x ∈ D，都有 f (x) − f (x) < ε n 则称函数列{f n }在 D 上一致收敛于 f 。记做 f (x) f (x) n ⇒ (n → ∞)， x ∈ D。 2、函数级数的一致收敛性概念 设{un (x)}是定义在数集 E 上的一个函数列，记 ∑ ，若 = = n k n n S x u x 1 ( ) ( ) 对∀ε ,∃N, n > N,∀x ∈ D S (x) − S(x) < ε 当 ，都有 n ，则称函数项级数 在 ∑ ∞ = = 1 ( ) ( ) k n S x u x E 一致收敛。 3、一致收敛判别法 定理 1（柯西一致收敛准则） ε ε + +……+ < ⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∀ + + + ∞ = ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , , , 1 2 1 a x a x a x a x N n N p x n n n p n n 一致收敛 当 定理 2 (狄利克雷判别法) ( ) 的部分和 一致有界， 单调趋于 0，则 1 a x n ∑ n ∞ = S (x) n v (x) n ( ) ( ) 1 a x v x n n ∑ n ∞ = 一致收敛。 4、一致收敛函数列于函数项级数的性质 定 理 3 设函数列 { 在 上 一 致收敛 于 ， 且 对每个 n ， ，则 和 均存在且相等。 f n } ( , ) ( , ) a x0 ∪ x0 b f (x) n n x x f x = a → lim ( ) 0 n n a →∞ lim lim ( ) 0 f x x→x 定理 4（连续性）若函数列{f n }在区间 I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数 f 在 I 上也连续。 定理 5 （可积性）若函数列{f n }在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则 1
精品课程《数学分析》课外训练方案 f(x) 定理6(可微性)设{n}为定义在区间[a,b]上的函数列,若x∈[ab]为{n}的收 敛点,{n}的每一项在[a又连续的导函数,且{}在[ab]上一致收敛,则 (lim, (x))=lim -f (x) 二、基本方法 1、用柯西熟练准则、M判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级 的一致收敛性。 2、用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和 3、用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数 三、基本要求 1.掌握函数列和函数项级数的一致收敛概念 2.用柯西熟练准则、M判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级数的 致收敛性。 3.用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和 4.用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数 四、典型例题 例1函数列∫(x)=2n n(1+n2x2),n=12,…,与f(x)= nx 1+n2x 0上都收效于,由于1my(x)-f(x)=2,所以导函数列(x)在D]不 致收敛,但有imfm(x)=0=umJn(x) 例2函数项级数∑(x+)在上一致收敛。因为记n,(x)=D vn(x)=(1+-)”时,有阿贝尔判别法就能得到结果 例3∑(-)F1上一致收敛。(证略) 例4(1)∑在[ab上收敛。(2)∑ 在R上一致收敛 1+4x
精品课程《数学分析》课外训练方案 f x dx f x dx b a n n n b a n lim ( ) lim ( ) ∫ ∫ →∞ →∞ = 定理 6 （可微性）设{f n }为定义在区间[a,b]上的函数列，若 [ , ] x0 ∈ a b 为 的收 敛点，{ 的每一项在 又连续的导函数，且 {f n } f n } [a,b] {f n } ' 在[a,b]上一致收敛，则 (lim ( )) lim f (x) dx d f x dx d n n n n→∞ →∞ = 二、基本方法 1、 用柯西熟练准则、M-判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级 的一致收敛性。 2、用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和。 3、用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数。 三、基本要求 1． 掌握函数列和函数项级数的一致收敛概念。 2． 用柯西熟练准则、M-判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级数的 一致收敛性。 3．用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和。 4．用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数。 四、典型例题 例 1 函数列 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 2 n x n f x n = + ，n = 1,2,L, 与 2 2 / 1 ( ) n x nx f x n + = ， 在 上都收敛于 0，由于 n = 1,2,L, [0,1] 2 1 lim max ( ) ( ) / / [0,1] − = →∞ ∈ f x f x n n x ，所以导函数列 在 不一 致收敛，但有 { ( )} / f x n [0,1] [ ] / / lim f (x) 0 lim f (x) n n n n→∞ →∞ = = 。 例 2 函数项级数 ∑ + − + 1 ( 1) ( ) n n n n x n 在 [0,1] 上一致收敛。因为记 n u x n n ( 1) ( ) − = ， n n n x v (x) = (1+ ) 时，有阿贝尔判别法就能得到结果。 例 3 ∑ + − + ) 1 ( 1 n x n x n n [-1,1]上一致收敛。（证略） 例 4 （1）∑ n! x n 在[a,b]上收敛。（2）∑ 2 1＋4x x 在 R 上一致收敛 证：略。 2
精品课程《数学分析》课外训练方案 五、自测题 1.设∫n(x)(n=1,2…)在[a,b上有界,并且{n(x)}在[a,b]上一致收敛,求证:fn(x) 在[a,b]上一致有界。 2.设f()定义于(b),令(x)=y(对(m=12, 求证:{fn(x)}在(a,b)上一致收敛于f(x) 3.设f(x)在(ab)内有连续的导数∫(x),且∫n(x)=川f(x+-)-f(x) 求证:在闭区间[a,6(a<a<B<b)上,{(x)}一致收敛于∫(x) 4.设f(x)在小上黎曼可积,定义函数序列fm()=J0d(m=12…) 求证:{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于零 5.参数a取什么值时,f(x)=nxe,n=1,2,3…在闭区间[O,1收敛?在闭区 间[0,]一致收敛?使lm「(xx女可在积分号下取极限? 6.证明序列f(x)=nem(n=1,2…)在闭区间[0,]上收敛,但 m(xk≠imJ(x 7.设∫n(x)(n=1,2,…)在(-∞,+∞)一致连续,且{f厂(x)在(-∞,+∞)一致收敛于 f(x)。求证:f(x)在(-∞,+∞)上一致连续 8.设{厂(x)}是[ab]上的连续函数列,且{fn(x)}在[a,b]一致收敛于f(x); 又xn∈[a,b](n=1,2,…),满足lmxn=x0,求证 lim f,(xn)=f(x0) 9.设{∫n(x)}在(a,b)内一致收敛于f(x),x∈(a,b)且Iimf(x)=an, (n=12,…)。证明: lim a和limf(x)存在且相等,即 lim lim f,(x)= lim lim f(x) 0.设∫n(x)(n=1,2…)在[a,b黎曼可积,且{f∫(x)}在[a,b]一致收敛于∫(x), 证明:f(x)在[a,b黎曼可积。 11.求出下列函数项级数的收敛区域(绝对的和条件的)
精品课程《数学分析》课外训练方案 五、自测题 1．设 ( ) nf x ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)在[ , a b]上有界，并且{ ( )} nf x 在[ , a b]上一致收敛，求证： ( ) nf x 在[ , a b]上一致有界。 2．设 f x( ) 定义于( , a b)，令 [ ( )] ( ) n nf x f x n = ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅). 求证：{ ( )} nf x 在( , a b)上一致收敛于 f x( ) 。 3．设 f x( ) 在( , a b)内有连续的导数 f ′(x) ，且 1 ( ) [ ( ) ( )], nf x n f x f x n = + − 求证：在闭区间[ , α β ] (a b < < α β < ) )} 上，{ ( fn x 一致收敛于 f ′(x). 4．设 1f (x) 在[ , a b]上黎曼可积，定义函数序列 1( ) ( ) x n n a f x f t + = ∫ dt ( 1 n = ⋅ , 2, ⋅⋅) 求证：{ ( )} nf x 在[ , a b]上一致收敛于零。 5．参数α 取什么值时， ( ) , nx nf x n xe α − = n =1, 2,3,⋅⋅⋅ 在闭区间[0,1] 收敛？在闭区 间[0,1] 一致收敛？使 1 0 lim ( ) n n f x dx −>∞ ∫ 可在积分号下取极限？ 6．证明序列 2 ( ) nx nf x nxe− = ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)在闭区间[0,1] 上收敛，但 1 1 0 0 lim ( ) lim ( ) . n n n n f x dx f x dx −>∞ −>∞ ≠ ∫ ∫ 7．设 ( ) nf x ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅) 在 ( , −∞ +∞) 一致连续，且{ ( )} nf x 在 ( , −∞ +∞) 一致收敛于 f x( ) 。求证： f x( ) 在( , −∞ +∞) 上一致连续。 8．设{ ( )} nf x 是[ , a b]上的连续函数列，且{ ( )} nf x 在[ , a b]一致收敛于 f x( ) ； 又 [ , ] n x ∈ a b ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)，满足 0 lim n n x x −>∞ = ，求证 0 lim ( ) ( ). n n n f x f x −>∞ = 9 ． 设 { ( )} nf x 在 ( , a b) 内一致收敛于 f x( ) ， 0 x ∈( , a b) 且 0 lim ( ) , n n x x f x a −> = ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)。证明： lim n 和 n a −>∞ 0 lim ( ) x x f x −> 存在且相等，即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ) n n n x x x x n f x f −>∞ −> −> −>∞ = x . 10．设 ( ) nf x ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)在[ , a b]黎曼可积，且{ ( )} nf x 在[ , a b]一致收敛于 f x( ) ， 证明： f x( ) 在[ , a b]黎曼可积。 11．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）： 3
精品课程《数学分析》课外训练方案 (2 +1(2x+1 1) (4) 12.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性: 0)2(-x)x,x∈②2∑(x x∈(-∞,+ 3.讨论下列函数项级数的一致收敛性 (1)> sinn x∈(-∞,+∞) =1+nx2,xe(-∞,+∞) x∈[0,+∞) nnx ,x∈(-2,+∞) 14.讨论下列函数项级数的一致收敛性: x∈(-∞,+∞) sinxsin nx ,x∈[0,2x]; n√n+x x∈(-1,+∞); x∈(-∞,+ ) n+sin x 15.证明级数∑(-1y关于x在(一∞,+∞)上为一致收敛,但对任何x并非绝 对收敛;而级数 虽在x∈(-∞,+∞)上绝对收敛,但并不一致收敛 f(1+x2)
精品课程《数学分析》课外训练方案 ⑴ 2 1 ; 1 n n n x x ∞ = + ∑ ⑵ 1 ; 1 2 1 n n n x n x ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∑ ⑶ 1 ( 1) 1 ; 2 1 1 n n n x n x ∞ = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ∑ ⑷ 2 2 1 1 1 . 1 n n n a x ∞ = ⋅ + ∑ 12．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ ⑵ 0 (1 ) , [0,1]; n n x x x ∞ = ∑ − ∈ 1 2 2 1 ( 1) , ( , ) (1 ) n n n x x x ∞ − = − ∈ −∞ +∞ + ∑ . 13．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 3 4 4 1 sin , ( , ); n nx x n x ∞ = ∈ −∞ +∞ + ∑ ⑵ 4 2 1 , ( , ); n 1 x x n x ∞ = ∈ −∞ +∞ + ∑ ⑶ 2 2 1 ( 1) (1 ) , [0, ); n nx n e x n x ∞ − = − − ∈ + ∞ + ∑ ⑷ 1 sin , ( 2, ) 2n n nx x x ∞ = ∈ − +∞ + ∑ ; 14．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 2 cos 3 , ( , ); n n x n x π ∞ = ∈ −∞ +∞ + ∑ ⑵ 1 sin sin , [0, 2 ]; n x nx x n x π ∞ = ∈ + ∑ ⑶ 1 ( 1) , ( 1, ) n n x x n ∞ = − ∈ − +∞ + ∑ ; ⑷ 1 ( 1) , ( , ); sin n n x n x ∞ = − ∈ −∞ +∞ + ∑ 15．证明级数 1 2 1 1 ( 1) n n n x ∞ − = − + ∑ 关于 x 在 ( , −∞ +∞) 上为一致收敛，但对任何 并非绝 对收敛；而级数 x 2 2 1 (1 ) n n x x ∞ = + ∑ 虽在 x ∈( , −∞ +∞) 上绝对收敛，但并不一致收敛。 4
精品课程《数学分析》课外训练方案 6.设每一项(x)都是[ab]上的单调函数,如果∑q(x)在b]的端点为绝对收 这级数在[a,b]上一致收 若∑(x)的一般项n1(x)c(x),x∈,并且∑c1(x)在X上一致收敛,证明 ∑un(x)在X上也一致收敛且绝对收敛。 1.求证f(x)=∑在(-2,+)内连续,并有连续导函数。 19.设f(x)=∑,,求证:()f(x)在x≥0上连续:;(2)f(x)在x>0内无穷次 可微
精品课程《数学分析》课外训练方案 16．设每一项 ( ) n ϕ x 都是[ , a b]上的单调函数，如果 ( ) n ∑ϕ x 在[ , 的端点为绝对收 敛，那么这级数在[ , 上一致收敛。 a b] a b] 17．若 的一般项| 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ ( ) | ( ), , n n u x ≤ c x x∈ X 并且 在 1 ( ) n n c x ∞ = ∑ X 上一致收敛，证明 在 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ X 上也一致收敛且绝对收敛。 18．求证 3 1 sin ( ) n nx f x n ∞ = = ∑ 在( , −∞ +∞) 内连续，并有连续导函数。 19．设 2 1 ( ) , 1 nx n e f x n ∞ − = = + ∑ 求证：⑴ 在 上连续；⑵ 在 内无穷次 可微。 f x( ) x ≥ 0 f x( ) x > 0 5