现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线L的方程为 x(),y=y(1) b 这里t:a→b表示参数t从a变化到b,这就确定了L的方向。则L是可 求长的,且曲线的弧长的微分d=√x2()+y2(0)+2(0)dr。注意到 (x(t),y(.,=()是曲线的切向量,因此它的单位切向量为 T =(coS a, cos B, cosn) (x'(t),y(t),z(t) )+y()+z(t) 若向量值函数 f(x, y, =P(x, y, 2i+o(,y, s)j+r(x, y, z)k 在L上连续,那么由定理141.1得到第二类曲线积分的计算公式 (x,y, =)x+o(x,y, =)dy+r(x, y, )dz J[P(x, y, =)cos a+O(, J,=)cosB+R(x, ,2)cos r]ds ∫[P(x)y(,=()x()+gxO)(,)y()+Rx()y(n)()dr
若向量值函数 f = i + j + zyxRzyxQzyxPzyx ),,(),,(),,(),,( k 在L上连续，那么由定理 14.1.1 得到第二类曲线积分的计算公式 ( , , ) ( , , )d ( , , )d L P xyzx Qxyz y Rxyz z + + ∫ [ ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos d] L = ++ P xyz Qxyz Rxyz s αβγ ∫ [ ] ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) d . ba = ++ P xt yt zt x t Qxt yt zt y t Rxt yt zt z t t ′ ′′ ∫ 现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线L的方程为 = = = :),(),(),( → battzztyytxx ， 这里 : → bat 表示参数t从a变化到b ，这就确定了L的方向。则L是可 求长的，且曲线的弧长的微分 2 22 d ( ) ( ) ( )d s xt yt ztt = ++ ′′′ 。注意到 ′ ′ ′ tztytx ))(),(),(( 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为 τ= ))(),(),(( )()()( 1 )cos,cos,(cos 2 2 2 tztytx tztytx ′′′ ′ + ′ + ′ γβα =
特别地,如果L的方程是 y=y(x) (x),x:a→ 「P(x,y)dx+xy.0y+R(xy,)d ∫Pxy(x)(x)+(x,yx,x)y(x)+x,y(x(x)(x)dx
特别地，如果L的方程是 = = :),(),( → baxxzzxyy ， 则 [ ] ( , , )d ( , , )d ( , , )d ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ) ( , ( ), ( )) ( ) d L b a Pxyz x Qxyz y Rxyz z P xyx zx Qxyx zx y x Rxyx zx z x x + + =+ + ′ ′ ∫ ∫
特别地,如果L的方程是 y=y(x) (x),x:a→ 「P(x,y)dx+xy.0y+R(xy,)d ∫Pxy(x)(x)+(x,yx,x)y(x)+x,y(x(x)(x)dx 如果L为y平面上光滑曲线,其方程为 x=x(t),y=y(),t:a→b。 则 J P(x, y)dx+O(x, y)dy=[[P((), y()x'(+@((), y()y (]dr 因此,如果L是xy平面上的方程为 y=y(x), x:a>b 的光滑曲线,则 ∫P(x,yx+(x,y)=∫Pxy(x)+(xy(x)y(xjdr
如果L为 xy平面上光滑曲线，其方程为 = = tyytxx )(),( ， : → bat 。 则 ( , )d ( , )d ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) d [ ] ba L P x y x Qx += + y y Pxt y t x t Qxt ′ ′ y t y t t ∫ ∫ 。 因此，如果L是 xy平面上的方程为 = xyy )( ， : → bax 的光滑曲线，则 ( , )d ( , )d ( , ( )) ( , ( )) ( ) d [ ] ba L P x y x Qx += + y y P x y x Qx y x y′ x x ∫ ∫ 。 特别地，如果L的方程是 = = :),(),( → baxxzzxyy ， 则 [ ] ( , , )d ( , , )d ( , , )d ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ) ( , ( ), ( )) ( ) d L b a Pxyz x Qxyz y Rxyz z P xyx zx Qxyx zx y x Rxyx zx z x x + + =+ + ′ ′ ∫ ∫
例14.21计算∫ydx+xt,其中L:(1)圆周x2+y2=R2的上半 部分,方向为逆时针方向;(2)从点M(R0)到点N(-R0)的直线段。 解(1)这时L的参数方程为 Rcost, y=Rsint, t: 0 因此 Jy'dx+xdy=o[r"sint(Rsin)+R cos I(R cost)ldt RDTO-cos 1)(sin()+(1-sin t)cost dt=-R' (2)这时L的方程为 y(x)=0,x:R→-R, 因此 ydx+xdj R Rx 图1422
例 14.2.1 计算 2 2 d d L y xxy + ∫ ，其中L：（1）圆周xyR 22 2 + = 的上半 部分，方向为逆时针方向；（2）从点 M( ,) R 0 到点 N( ,) −R 0 的直线段。 解（1）这时L的参数方程为 xR t yR t t = cos , sin , : 0 = → π， 因此 π 2 2 22 2 2 0 d d sin ( sin ) cos ( cos ) d L y x x y R t R t R tR t t += − + ⎡ ⎤ ∫ ∫ ⎣ ⎦ π 3 2 2 3 0 4 (1 cos )( sin ) (1 sin )cos d 3 = − − + − =− R t t t tt R ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ 。 （2）这时L的方程为 = = :,0)( → −RRxxyy ， 因此 2 2 d d 0d 0 R R L yxxy x − + = ⋅= ∫ ∫ 。 xy R 22 2 + = −R R x y O 图14.2.2