在曲线L上的点(xy,3)处取L的弧长微元ds,作向量ds=zds,其中 z=(cosa,cosB,cosy)为曲线L在点(x,y,2)处与L同向的单位切向量。 那么d在x轴上的投影是 cos ads,记为dx,即dx= cos ads。同理记 dy= cos Bds,dz= cos yds。于是,第二类曲线积分又可以表示为 ∫ rds ds=fds=「P(xy,)x+(x,y:)y+Rxy 它也称为1-形式o=P(xy,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,)d在L上的第二类 曲线积分,记为∫o 特别地,如果L为x平面上的定向光滑曲线段,第二类曲线积分 就简化为 P(, y)dx+O(x, y) dy= [P(, y)cos a+O(, y)cos B ]ds I[P(x, y)cos a+@(x, y)sin a ]ds 其中a为L的沿L方向的切向量与x轴正向的夹角
特别地，如果L为 xy平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积分 就简化为 ( , )d ( , )d [ ( , )cos ( , )cos ]d [ ( , )cos ( , )sin ]d , L L L P xy x Qxy y Pxy Qxy s Pxy Qxy s α β α α += + = + ∫ ∫ ∫ 其中α 为L的沿L方向的切向量与x轴正向的夹角。 在曲线L上的点 zyx ),,( 处取L的弧长微元ds ，作向量ds =τ ds ,其中 τ= α β,cos,(cos γ )cos 为曲线L 在点 zyx ),,( 处与L同向的单位切向量。 那么 ds 在 x 轴上的投影是 cos d α s ，记为 dx ，即 d cos d x = α s 。同理记 d cos d y = β s ，d cos d z s = γ 。于是，第二类曲线积分又可以表示为 ds L ⋅ ∫ f τ ds = d L ⋅ ∫ f s ( , , )d ( , , )d ( , , )d L = ++ P xyz x Qxyz y Rxyz z ∫ 。 它也称为 1-形式ω = P( , , )d ( , , )d ( , , )d xyz x Qxyz y Rxyz z + + 在L上的第二类 曲线积分，记为 L ω∫
第二类曲线积分定义在定向曲线(即指定了方向的曲线)上,它 具有如下性质: 性质1(方向性)设向量值函数∫在定向的分段光滑曲线L上的 第二类曲线积分存在。记-L是定向曲线L的反向曲线,则∫在-L上的 第二类曲线积分也存在,且成立 ∫.rds=-∫rds 注意这个等式两边的r是方向相反的
第二类曲线积分定义在定向曲线（即指定了方向的曲线 ）上， 它 具有如下性质： 性质 1 （方向性）设向量值函数 f 在定向的分段光滑曲线 L上的 第二类曲线积分存在。记 − L是定向曲线 L的反向曲线，则 f 在 − L上的 第二类曲线积分也存在，且成立 L ⋅ ∫ f τ ds = - L ⋅ ∫ - f τ ds 。 注意这个等式两边的 τ是方向相反的
性质2(线性性)设两个向量值函数∫,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 「(af+Bg)rd=a∫rd+」「g.rds
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 , gf 在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数α, β ，α + βgf 在L上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L α β + ⋅ ∫ f g τds L =α ⋅ ∫ f τds L +β ⋅ ∫ g τds
性质2(线性性)设两个向量值函数∫,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 「(af+Bg)rd=a∫rd+」「g.rds。 性质3(路径可加性)设定向分段光滑曲线L分成了两段L1和L2, 它们与L的取向相同(这时记为L=L+L2),如果向量值函数∫在L上 的第二类曲线积分存在,则它在L和L2上的第二类曲线积分也存在。 反之,如果∫在L和L2上的第二类曲线积分存在,则它在L上的第二 类曲线积分也存在。且成立 ∫.rds=∫frds+∫,rds
性质 3 （路径可加性）设定向分段光滑曲线L分成了两段L1和L2， 它们与L的取向相同（这时记为LLL = 1 2 + ），如果向量值函数 f 在L上 的第二类曲线积分存在，则它在L1和L2上的第二类曲线积分也存在。 反之，如果 f 在L1和L2上的第二类曲线积分存在，则它在L上的第二 类曲线积分也存在。且成立 L ⋅ ∫ f τds 1L = ⋅ ∫ f τds 2L + ⋅ ∫ f τds 。 性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 , gf 在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数α, β ，α + βgf 在L上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L α β + ⋅ ∫ f g τds L =α ⋅ ∫ f τds L +β ⋅ ∫ g τds
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线L的方程为 x=x(),y=y(),z=z(1),t:a→b, 这里t:a>b表示参数t从a变化到b,这就确定了L的方向。则L是可 求长的,且曲线的弧长的微分d=√x2()+y2(0)+2(0)dr。注意到 (x(t),y(t),=()是曲线的切向量,因此它的单位切向量为 T-(cos a, cos B, cos y) (x'(t),y(t),z(t) x2()+y2()+z2(t)
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L的方程为 = = = :),(),(),( → battzztyytxx ， 这里 : → bat 表示参数 t 从 a变化到 b ，这就确定了 L的方向。则 L 是 可 求长的，且曲线的弧长的微分 2 22 d ( ) ( ) ( )d s xt yt ztt = ++ ′′′ 。注意到 ′ ′ ′ tztytx ))(),(),(( 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为 τ= ))(),(),(( )()()( 1 )cos,cos,(cos 2 2 2 tztytx tztytx ′′′ ′ + ′ + ′ γβα =