三、二维连续型随机变量 1.定义 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x,y有 F(x,y)=f(u,v)dudv, 则称(X,Y)是连续型的二维随机量，函数f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随 机变量X和Y的联合概率密度
. ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) d d , ( , ) , ( , ) ( , ), 机变量 和 的联合概率密度 称为二维随机变量 的概率密度 或称为随 则 称 是连续型的二维随机变量 函 数 如果存在非负的函数 使对于任意 有 对于二维随机变量 的分布函数 X Y X Y X Y f x y F x y f u v u v f x y x y X Y F x y y x − − = 1.定义 三、二维连续型随机变量
2.联合概率密度的性质 (1)f(x,y)≥0. (2)f(x.y)dxdy=F(+.+)=1. (3)设G是x0y平面上的一个区域点(X,Y)落在 G内的概率为 p((X,Y)EG)=f(x,y)dxdy. ④若fx,在(x,)连续，则有比》=fx,. Oxov
(2) ( , ) d d = (+,+) =1. + − + − f x y x y F {( , ) } ( , ) d d . = G P X Y G f x y x y (1) f (x, y) 0. 2.联合概率密度的性质 内的概率为 设 是 平面上的一个区域 点 落 在 G (3) G xoy , (X,Y ) ( , ). ( , ) (4) ( , ) ( , ) , 2 f x y x y F x y f x y x y = 若 在 连续 则有
3.说明 几何上，乙=f(x,y)表示空间的一个曲面 f(x.y)dxdy-1, 表示介于f(化，y)和xoy平面之间的空间区域的 全部体积等于1. P(K,)∈G=J∬fx,J)dxdy, P{(X,Y)∈G的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y) 为顶面的柱体体积
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1. {( , ) } ( , ) d d , = G P X Y G f x y x y ( , )d d = 1, + − + − f x y x y 3.说明 . {( , ) } , ( , ) 为顶面的柱体体积 P X Y G 的值等于以G为底 以曲面z = f x y 几何上, z = f (x, y) 表示空间的一个曲面
例3设二维随机变量(X,)具有概率密度 x>0,y>0 其它 ()求常数A; (2)求概率P{Y<X} 解依据 f(x,)dxdy=1 Aea”dxdy=A"ed"e'w 因此A=2
例3 ( , )d d =1 + − + − 解 f x y x y = − + 其它 （ ） ， 0 0, 0 ( , ) 2 Ae x y f x y x y 设二维随机变量（X,Y)具有概率密度 (1) 求常数 A; (2) 求概率 P { Y < X } 依据 1 2 d d 0 0 2 0 0 (2 ) = = = + − + − + + − + A A e x y A e dx e dy x y x y 因此 A = 2
2e(2x+ ，x>0y>0, f(x,y)= 0, 其它 2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标， 即有 P{Y≤X=P{(X,Y)∈G =j∬fex,)d.cdy =ac2ea”w 1
P{Y X} = P{(X,Y )G} (2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 Y = X G x y O f x y x y G ( , )d d = dx dy x x y + − + = 0 0 (2 ) 2e . 3 1 = (2 ) 2e , 0, 0, ( , ) 0, . x y x y f x y − + = 其它