2782.2Poincare引理式.另一方面，我们又可以从另一个角度理解da，dy.为此，设fU→R为定义在UcM上的光滑函数，我们定义f的外微分为U上的1次微分形式df：df(p)eT*M,df(p)(Vp)=Vp(f),VVpeT,M,VpeU容易验证，上面提到的daa，dya分别为坐标函数a，yα的外微分．因此，如果更换坐标映射为z=+V-Iy，则有如下转换关系：drp)=(ua uy)dr(2.6)durw.其中u+-lu=god-l为坐标转换映射.有了1次微分形式，我们接着定义2次微分形式.考虑如下集合：^T*M={Φ：T,M×T,M→R|是偏线性的，且关于两个分量反对称显然，在这个集合中可以引入加法和数乘运算使之成为向量空间。为了得到这个向量空间中的元素，我们定义楔积运算入如下：^:T*M×T*M-^"TM(pnp)wn其中，wp^npE^T*M定义为p^np(Vp,Wp) =Wp(Vp).p(Wp)-wp(Wp)-np(Vp),VVp,WpeTpM特别地，dralp^dyalpE^?T*M，并且不难证明，这是^2T*M的基.和切丛及余切丛类似，我们可以定义一个新的丛^2T*M=U.^?T*M，并把光滑映射EVW：U→T*Mw(p)E^?T*M称为U上的2次微分形式.显然，楔积运算可以定义在1-形式上：(awi + bw2)n=awi n +bw2 ^n, w n=-n w,例如，dαΛdyα为U。上的2次微分形式，而U。上的2次微分形式均可写为addya，a为U上光滑函数.如果更换坐标映射为zg=+-Iyp，则由(2.6)有uruydβ ^ dyg = detdaadya.(2.7)Ur为了统一起见，我们也把光滑函数称为0次微分形式，并且i次微分形式简称i-形式.在黎曼曲面上，我们规定3次及3次以上的微分形式为零.楔积运算可折
§2.2 Poincar´e 引理 27 式. 另一方面, 我们又可以从另一个角度理解 dxα, dyα. 为此, 设 f : U Ñ R 为定义 在 U Ă M 上的光滑函数, 我们定义 f 的外微分为 U 上的 1 次微分形式 df: dfppq P T ˚ p M, dfppqpVpq “ Vppfq, @ Vp P TpM, @ p P U. 容易验证, 上面提到的 dxα, dyα 分别为坐标函数 xα, yα 的外微分. 因此, 如果更换 坐标映射为 zβ “ xβ ` ? ´1 yβ, 则有如下转换关系: ˜ dxβ dyβ ¸ “ ˜ ux uy vx vy ¸ ˜dxα dyα ¸ . (2.6) 其中, u ` ? ´1 v “ ϕβ ˝ ϕ ´1 α 为坐标转换映射. 有了 1 次微分形式, 我们接着定义 2 次微分形式. 考虑如下集合: ľ2 T ˚ p M “ tψ : TpM ˆ TpM Ñ R | ψ是偏线性的, 且关于两个分量反对称u. 显然, 在这个集合中可以引入加法和数乘运算使之成为向量空间. 为了得到这个向 量空间中的元素, 我们定义楔积 运算 Ź 如下: ľ : T ˚ p M ˆ T ˚ p M Ñ ľ2 T ˚ p M pωp, ηpq ÞÑ ωp ^ ηp, 其中, ωp ^ ηp P Ź2 T ˚ p M 定义为 ωp ^ ηppVP , WP q “ ωppVpq ¨ ηppWP q ´ ωppWpq ¨ ηppVP q, @ Vp, Wp P TpM. 特别地, dxα|p ^ dyα|p P Ź2 T ˚ p M, 并且不难证明, 这是 Ź2 T ˚ p M 的基. 和切丛及 余切丛类似, 我们可以定义一个新的丛 Ź2 T ˚M “ Ť pPM Ź2 T ˚ p M, 并把光滑映射 ω : U Ñ Ź2 T ˚M, ωppq P Ź2 T ˚M 称为 U 上的 2 次微分形式. 显然, 楔积运算可 以定义在 1- 形式上: paω1 ` bω2q ^ η “ aω1 ^ η ` bω2 ^ η, ω ^ η “ ´η ^ ω. 例如, dxα ^ dyα 为 Uα 上的 2 次微分形式, 而 Uα 上的 2 次微分形式均可写为 adxα ^ dyα, a 为 Uα 上光滑函数. 如果更换坐标映射为 zβ “ xβ ` ? ´1 yβ, 则由 (2.6) 有 dxβ ^ dyβ “ det ˜ ux uy vx vy ¸ dxα ^ dyα. (2.7) 为了统一起见, 我们也把光滑函数称为 0 次微分形式, 并且 i 次微分形式简称 i- 形式. 在黎曼曲面上, 我们规定 3 次及 3 次以上的微分形式为零. 楔积运算可扩
28第二章单值化定理充到所有的微分形式上：0-形式与i-形式的楔积就是普通乘积，1-形式与2-形式及2次以上形式楔积为零.现在我们把外微分运算d也扩充到所有微分形式上：如果w=df为函数f的外微分，则定义dw=0；一般地，1-形式w如果局部表示为w=ada+bdya，则定义dw=da^daα+db^dya.不难验证这是定义好的一个线性运算，它把1-形式变为2-形式.我们规定，2-形式的外微分为零最后，我们定义作用在微分形式上的拉回运算.设f：M→N为黎曼曲面之间的光滑映射，拉回映射f*是一个线性映射，它把N上的i-形式变为M上的i-形式.*作用在0-形式上就是复合，即，如果g：N→R为N上的光滑函数，则f*g=gof为M上的光滑函数；如果w为N上1-形式，则f*w为M上如下定义的1-形式：f*wp(V,)=wf(p)(f*pVp),VpeM, VV,eT,M类似地，如果n为N上2-形式，则*n为M上如下定义的2-形式：f*np(Vp,Wp)=nf(p)(fpVp,f*pWp),VpeM, VVp,WpeTpM.拉回运算具有以下性质：. f*(w ^ n) = f*(w) ^ f*(n):.d(f*(w) = f*(dw)从上面外微分运算d的定义我们知道d=0.利用这一性质我们定义黎曼曲面的deRham上同调群.定义2.2.1(deRham上同调群).如果dw=0，则称w为闭形式；如果w=dn则称w为恰当形式：对于q=0,1,2,黎曼曲面M的q次deRham上同调群定义为HlR(M)=(q次闭形式)/(q次恰当形式)）这是向量空间的商空间在黎曼曲面M上，0次恰当形式均为零，而0次闭形式就是局部常值函数因此，Har(M）描述的是M的连通分支的个数.如果f：M→N为黎曼曲面之间的光滑映射，则由拉回运算的性质，如下定义的映射f* : HaR(N) -Har(M)[w] - [f*(w]]是定义好的一个同态
28 第二章 单值化定理 充到所有的微分形式上: 0- 形式与 i- 形式的楔积就是普通乘积, 1- 形式与 2- 形式 及 2 次以上形式楔积为零. 现在我们把外微分运算 d 也扩充到所有微分形式上: 如 果 ω “ df 为函数 f 的外微分, 则定义 dω “ 0; 一般地, 1- 形式 ω 如果局部表示为 ω “ adxα ` bdyα, 则定义 dω “ da ^ dxα ` db ^ dyα. 不难验证这是定义好的一个线 性运算, 它把 1- 形式变为 2- 形式. 我们规定, 2- 形式的外微分为零. 最后, 我们定义作用在微分形式上的拉回运算. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之 间的光滑映射, 拉回映射 f ˚ 是一个线性映射, 它把 N 上的 i- 形式变为 M 上的 i- 形式. f ˚ 作用在 0- 形式上就是复合, 即, 如果 g : N Ñ R 为 N 上的光滑函数, 则 f ˚g “ g ˝ f 为 M 上的光滑函数; 如果 ω 为 N 上 1- 形式, 则 f ˚ω 为 M 上如下定 义的 1- 形式: f ˚ωppVpq “ ωfppqpf˚pVpq, @ p P M, @ Vp P TpM. 类似地, 如果 η 为 N 上 2- 形式, 则 f ˚η 为 M 上如下定义的 2- 形式: f ˚ ηppVp, Wpq “ ηfppqpf˚pVp, f˚pWpq, @ p P M, @ Vp, Wp P TpM. 拉回运算具有以下性质: • f ˚pω ^ ηq “ f ˚pωq ^ f ˚pηq; • dpf ˚pωqq “ f ˚pdωq. 从上面外微分运算 d 的定义我们知道 d 2 “ 0. 利用这一性质我们定义黎曼曲 面的 de Rham 上同调群. 定义 2.2.1 (de Rham 上同调群). 如果 dω “ 0, 则称 ω 为闭形式; 如果 ω “ dη, 则称 ω 为恰当形式. 对于 q “ 0, 1, 2, 黎曼曲面 M 的 q 次 de Rham 上同调群定义 为 H q dRpMq “ tq次闭形式u{tq次恰当形式u, 这是向量空间的商空间. 在黎曼曲面 M 上, 0 次恰当形式均为零, 而 0 次闭形式就是局部常值函数. 因 此, H0 dRpMq 描述的是 M 的连通分支的个数. 如果 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的 光滑映射, 则由拉回运算的性质, 如下定义的映射 f ˚ : H q dRpNq Ñ H q dRpMq rωs ÞÑ rf ˚ pωqs 是定义好的一个同态
$2.2Poincare引理29定理2.2.1(Poincaré引理).Har(C)=0,q=1,2.即C上的闭形式必为恰当形式证明.设z=+V-Iy为C上标准复坐标，w为闭形式.分两种情况讨论(1)w为2-形式.此时w=F(z,y)da^dy.令F(t, y)dt]dy7=[则dn=w.(2)w为1-形式,w=pda+qdy.由dw=0知pay我们寻找函数f，使得=w，这等价于afaf=p,=qay容易验证，t.y)dtq(0, t)dt口即为所求的一个解注.显然，上述证明对于C中凸域均成立,特别地，Har(D)=0,q=1,2.Poincare引理的一个简单应用：设u为C上光滑函数，考虑1-形式w=uady-uyda.简单的计算表明dw=（Au)dr^dy.因此，如果u为调和函数，则w为闭形式，从而为恰当形式，即存在光滑函数，使得w=du=udr+uudy，这说明u,u满足Cauchy-Riemann方程，即u是全纯函数u+-I的实部为了考虑一般黎曼曲面上类似的问题，我们来定义曲面上微分形式的积分．首先考虑1-形式在曲线上的积分.为此，设w为M上的1-形式，α：[a,b]→M为M上的光滑曲线.任取te[a,b],在(t)附近取M的局部坐标za=a+V-Iya,在此局部坐标邻域内w有局部表示w=adr。+bdya，令f(t) =aoo(t) ra(t) +boo(t) -y(t),其中, a(t)=α(t), ya(t) =yaoo(t).定义w在上的积分为f(t)dtw=我们有·上述定义是恰当的，即和M上局部坐标的选取无关，这可由（2.6）得到
§2.2 Poincar´e 引理 29 定理 2.2.1 (Poincar´e 引理). H q dRpCq “ 0, q “ 1, 2. 即 C 上的闭形式必为恰当 形式. 证明. 设 z “ x ` ? ´1 y 为 C 上标准复坐标, ω 为闭形式. 分两种情况讨论: p1q ω 为 2- 形式. 此时 ω “ Fpx, yqdx ^ dy. 令 η “ rż x 0 Fpt, yqdtsdy, 则 dη “ ω. p2q ω 为 1- 形式, ω “ pdx ` qdy. 由 dω “ 0 知 Bp By “ Bq Bx . 我们寻找函数 f, 使得 df “ ω, 这等价于 Bf Bx “ p, Bf By “ q. 容易验证, f “ ż x 0 ppt, yqdt ` ż y 0 qp0, tqdt 即为所求的一个解. 注. 显然, 上述证明对于 C 中凸域均成立, 特别地, H q dRpDq “ 0, q “ 1, 2. Poincar´e 引理的一个简单应用: 设 u 为 C 上光滑函数, 考虑 1- 形式 ω “ uxdy ´ uydx. 简单的计算表明 dω “ p∆uqdx ^ dy. 因此, 如果 u 为调和函数, 则 ω 为闭形式, 从而为恰当形式, 即存在光滑函数 v, 使得 ω “ dv “ vxdx ` vydy, 这说 明 u, v 满足 Cauchy-Riemann 方程, 即 u 是全纯函数 u ` ? ´1 v 的实部. 为了考虑一般黎曼曲面上类似的问题, 我们来定义曲面上微分形式的积分. 首 先考虑 1- 形式在曲线上的积分. 为此, 设 ω 为 M 上的 1- 形式, σ : ra, bs Ñ M 为 M 上的光滑曲线. 任取 t P ra, bs, 在 σptq 附近取 M 的局部坐标 zα “ xα ` ? ´1 yα, 在此局部坐标邻域内 ω 有局部表示 ω “ adxα ` bdyα, 令 fptq “ a ˝ σptq ¨ x 1 αptq ` b ˝ σptq ¨ y 1 αptq, 其中, xαptq “ xα ˝ σptq, yαptq “ yα ˝ σptq. 定义 ω 在 σ 上的积分为 ż σ ω “ ż b a fptqdt. 我们有 • 上述定义是恰当的, 即和 M 上局部坐标的选取无关, 这可由 (2.6) 得到.