22第二章单值化定理根据上面的命题，为了对黎曼环面C/A作全纯分类，只要考虑A=<1,》的情形即可.并且由于wi/wz和wz/wi中必有一个虚部为正，我们还只需考虑由A=<1,T)，ImT>0生成的黎曼环面的分类设黎曼环面C/1,）和C/<1,T）全纯同构，：C/<1,）→C/<1,T>为双全纯映射。根据上面性质(i),我们可以假设f([0]）=[0].记F：C→C为f的提升，F为全纯映射，满足条件F(O）=0,元。F=f。元，其中元：C→C<1,T）元：C→C/<1,T>分别为商投影.断言：存在EC,使得F(z)=2事实上，考虑全纯同构的逆映射f-1,它也有全纯提升G：C→C,使得G(O)=0元oG=f-1o元.根据提升的惟一性易见，F，G为互逆的全纯映射，从而均为全纯同构.根据第一章定理1.1.4，F为线性映射.这就证明了上述断言小结一下，我们现在知道全纯同构：C1,T）→C/<1,T>形如f([z]) = [z], ze C.特别地，有[0] = f([0]) = f([1]) = [>][0] = f([0] = f([]) = [ - T].这说明存在a,b,c,deZ,使得=a.1+6.t,(2.1).T=c.1+d.T.这可以改写为矩阵形式 C)-(c)(C)a,b,c,de Z.(2.2)同理，考虑-1,就得到-(C)-(c)() dwedez.(2.3)由(2.2)和(2.3)式得()-(c)(c)()因为1,T线性无关，故(8)()-(69)
22 第二章 单值化定理 根据上面的命题, 为了对黎曼环面 C{Λ 作全纯分类, 只要考虑 Λ “ x1, τ y 的 情形即可. 并且由于 ω1{ω2 和 ω2{ω1 中必有一个虚部为正, 我们还只需考虑由 Λ “ x1, τ y, Imτ ą 0 生成的黎曼环面的分类. 设黎曼环面 C{x1, τ y 和 C{x1, τ 1 y 全纯同构, f : C{x1, τ y Ñ C{x1, τ 1 y 为双全 纯映射. 根据上面性质 (i), 我们可以假设 fpr0sq “ r0s. 记 F : C Ñ C 为 f 的 提升, F 为全纯映射, 满足条件 Fp0q “ 0, π 1 ˝ F “ f ˝ π, 其中 π : C Ñ C{x1, τ y, π 1 : C Ñ C{x1, τ 1 y 分别为商投影. 断言: 存在 γ P C, 使得 Fpzq “ γ ¨ z. 事实上, 考虑全纯同构 f 的逆映射 f ´1 , 它也有全纯提升 G : C Ñ C, 使得 Gp0q “ 0, π ˝ G “ f ´1 ˝ π 1 . 根据提升的惟一性易见, F, G 为互逆的全纯映射, 从而均为全纯 同构. 根据第一章定理 1.1.4, F 为线性映射. 这就证明了上述断言. 小结一下, 我们现在知道全纯同构 f : C{x1, τ y Ñ C{x1, τ 1 y 形如 fprzsq “ rγzs, @ z P C. 特别地, 有 r0s “ fpr0sq “ fpr1sq “ rγs, r0s “ fpr0sq “ fprτ sq “ rγ ¨ τ s. 这说明存在 a, b, c, d P Z, 使得 $ & % γ “ a ¨ 1 ` b ¨ τ 1 , γ ¨ τ “ c ¨ 1 ` d ¨ τ 1 . (2.1) 这可以改写为矩阵形式 γ ¨ ˜ 1 τ ¸ “ ˜ a b c d¸ ˜ 1 τ 1 ¸ , a, b, c, d P Z. (2.2) 同理, 考虑 f ´1 , 就得到 γ ´1 ¨ ˜ 1 τ 1 ¸ “ ˜ a 1 b 1 c 1 d 1 ¸ ˜1 τ ¸ , a1 , b1 , c1 , d1 P Z. (2.3) 由 (2.2) 和 (2.3) 式得 ˜ 1 τ ¸ “ ˜ a b c d¸ ˜a 1 b 1 c 1 d 1 ¸ ˜1 τ ¸ . 因为 1, τ 线性无关, 故 ˜ a b c d¸ ˜a 1 b 1 c 1 d 1 ¸ “ ˜ 1 0 0 1¸
2382.1黎曼曲面的定义又因为a,b,c,d及a.b.c,d均为整数，从而只能有det±1另一方面，由（2.1）式知c+dt(2.4)T=a + bri:简单的计算表明，ImT=(ad-bc)la+br/-2ImT由于我们假设了和虚部为正，从而有(2.5)ad-bc=1反之，如果存在整数a,b,c,d满足（2.4)式和(2.5)式，则用（2.1)式中的构造的映射f : C1,T)→C<1,T[2] - [2]是定义好的全纯同构，综上所述，我们就得到了如下定理定理2.1.2（黎曼环面的分类).任何黎曼环面C/A均同构于另一个形如C/<1,-), ImT >0的黎受环面；两个这样的黎曼环面C/<1,T)，C/<1,T"）全纯同构的充分必要条件是存在整数 a,b,c,d 满足如下条件c+drT=ad - bc = 1.a+br'注上面的定理并没有告诉我们，一个同胚于标准环面S1×SI的黎曼曲面是否一定形如C/A.这个问题我们留到以后的章节再来回答习题2.11.黎曼曲面都是可定向的2维实流形，即把坐标转换映射看成R2内的映射时，其Jacobi矩阵的行列式总是正的2.证明S和CP1是全纯同构的两个黎曼曲面3.设M,N为黎曼曲面，则连续映射f：M→N为双全纯映射的充分必要条件是它是一一（既单又满）的全纯映射
§2.1 黎曼曲面的定义 23 又因为 a, b, c, d 及 a 1 , b1 , c1 , d1 均为整数, 从而只能有 det ˜ a b c d¸ “ ˘1. 另一方面, 由 (2.1) 式知 τ “ c ` dτ 1 a ` bτ 1 , (2.4) 简单的计算表明, Imτ “ pad ´ bcq|a ` bτ 1 | ´2 Imτ 1 . 由于我们假设了 τ 和 τ 1 虚部为 正, 从而有 ad ´ bc “ 1. (2.5) 反之, 如果存在整数 a, b, c, d 满足 (2.4) 式和 (2.5) 式, 则用 (2.1) 式中的 γ 构造的 映射 f : C{x1, τ y Ñ C{x1, τ 1 y rzs ÞÑ rγzs 是定义好的全纯同构. 综上所述, 我们就得到了如下定理 定理 2.1.2 (黎曼环面的分类). 任何黎曼环面 C{Λ 均同构于另一个形如 C{x1, τ y, Imτ ą 0 的黎曼环面; 两个这样的黎曼环面 C{x1, τ y, C{x1, τ 1 y 全纯同构的充分必要条件是 存在整数 a, b, c, d 满足如下条件 τ 1 “ c ` dτ a ` bτ , ad ´ bc “ 1. 注. 上面的定理并没有告诉我们, 一个同胚于标准环面 S 1 ˆ S 1 的黎曼曲面是 否一定形如 C{Λ. 这个问题我们留到以后的章节再来回答. 习题 2.1 1. 黎曼曲面都是可定向的 2 维实流形, 即把坐标转换映射看成 R 2 内的映射时, 其 Jacobi 矩阵的行列式总是正的. 2. 证明 S 和 CP 1 是全纯同构的两个黎曼曲面. 3. 设 M, N 为黎曼曲面, 则连续映射 f : M Ñ N 为双全纯映射的充分必要条件 是它是一一 (既单又满) 的全纯映射
24第二章单值化定理4.设M,N为紧致黎曼曲面，则f：M→N为双全纯映射的充分必要条件是，存在有限集合A,B,AcM,BcN，使得f:M-A→N-B为双全纯映射5.证明，作为加群的C其离散子群必由一个复数，或由两个实线性无关的复数生成.6.任给非零复数%，它生成了C中子群，记为<>.这个离散子群作用在C上，其商空间C<>>为黎曼曲面.试将所有这种黎曼曲面作一个全纯同构下的分类2.2Poincaré引理在前一节中，我们了解到许多非平凡的黎曼曲面的例子，和复平面中的区域不同，这些曲面上一般不再有整体坐标.为了进一步研究这些曲面，一个有效的办法就是考虑它们的线性化，即引入切空间的概念和微分形式的语言，为此，设M为黎曼曲面，U。为它的一个局部坐标邻域，a为Ua上的坐标映射，pEUa不失一般性，我们假设βa(p)=0.记z=+V-1y为复平面C上的标准复坐标，则Ta=oa,a=yoPa分别为U上实坐标函数，za=+-Iya即为原先U上的复坐标映射.为了简单起见，以下我们有时省略下标α下面我们在p处考虑M的线性化.首先，定义C(p)=(M上在p附近有定义的光滑函数)/ ~,这里，等价关系～定义为：两个在P附近有定义的光滑函数f，g等价的充分必要条件是在p的更小的某个邻域中f=9：在C（p）中引入通常的函数加法和数乘运算，使之成为实向量空间.为了简单起见，C(p）中的元素仍然用局部光滑函数表示.其次，我们称满足如下条件的线性算子V：Co(p)→R为P处M的一个切向量：Vp(fg)=f(p)Vp(g)+g(p)Vp(f)Vf,gEC(p)把p处切向量的全体记为T,M，称为M在p处的切空间.显然，T,M中可以引入加法和数乘运算，使之成为一个实向量空间下面我们说明，这是一个2维实向量空间：
24 第二章 单值化定理 4. 设 M, N 为紧致黎曼曲面, 则 f : M Ñ N 为双全纯映射的充分必要条件是, 存 在有限集合 A, B, A Ă M, B Ă N, 使得 f : M ´ A Ñ N ´ B 为双全纯映射. 5. 证明, 作为加群的 C 其离散子群必由一个复数, 或由两个实线性无关的复数生 成. 6. 任给非零复数 γ, 它生成了 C 中子群, 记为 xγy. 这个离散子群作用在 C 上, 其 商空间 C{xγy 为黎曼曲面. 试将所有这种黎曼曲面作一个全纯同构下的分类. §2.2 Poincar´e 引理 在前一节中, 我们了解到许多非平凡的黎曼曲面的例子. 和复平面中的区域不 同, 这些曲面上一般不再有整体坐标. 为了进一步研究这些曲面, 一个有效的办法 就是考虑它们的线性化, 即引入切空间的概念和微分形式的语言. 为此, 设 M 为 黎曼曲面, Uα 为它的一个局部坐标邻域, φα 为 Uα 上的坐标映射, p P Uα. 不失 一般性, 我们假设 φαppq “ 0. 记 z “ x ` ? ´1 y 为复平面 C 上的标准复坐标, 则 xα “ x ˝ φα, yα “ y ˝ φα 分别为 Uα 上实坐标函数, zα “ xα ` ? ´1 yα 即为原先 U 上的复坐标映射 φα. 为了简单起见, 以下我们有时省略下标 α. 下面我们在 p 处考虑 M 的线性化. 首先, 定义 C 8ppq “ tM上在 p 附近有定义的光滑函数u{ ∼, 这里, 等价关系 ∼ 定义为: 两个在 p 附近有定义的光滑函数 f, g 等价的充分必要 条件是在 p 的更小的某个邻域中 f ” g. 在 C 8ppq 中引入通常的函数加法和数乘 运算, 使之成为实向量空间. 为了简单起见, C 8ppq 中的元素仍然用局部光滑函数 表示. 其次, 我们称满足如下条件的线性算子 Vp : C 8ppq Ñ R 为 p 处 M 的一个切 向量: Vppfgq “ fppqVppgq ` gppqVppfq, @ f, g P C 8ppq. 把 p 处切向量的全体记为 TpM, 称为 M 在 p 处的切空间. 显然, TpM 中可以引入 加法和数乘运算, 使之成为一个实向量空间. 下面我们说明, 这是一个 2 维实向量 空间:
2.2Poincare引理25(1)我们如下定义两个切向量lp，%lpa01()-l(o),fec(o),ad()=6(),eC(p),按照定义，l(a)=1,lp(a)=0;lp(a)=0,l(ya)=1.因此,向量是，最线性无关(2)如果lo(F)=0,l(F)=0,则Vp(f)=0,VpT,M.事实上任给f e C(p), 有d()()(t)[ra(foal)(tza) + ya(f0l)y(tza)]dt= Tahi + yah2.h1,h2仍为p附近光滑函数.将条件lp(f）=0,lp(f）=0代入上式得hi(p)=0,h2(p)=0.从而按照切向量的定义易见，p处任意切向量作用在于亦为零.(3)任给feC(p),令h=f-αlp(f)-Yalp(f),则由(2)知V(h)=0,VVpET,M.从而2UV()=V()()+V()-lp(f)这说明，作为切向量，V=V(l+V(ya)即，T,M由（pl)张成.由以上定义可以看出，对于复平面中的区域而言，通过使用标准坐标，区域内任何一点的切空间都可以和R2自然地等同起来有了曲面的线性化，我们来考虑映射的线性化.设Φ：M→N为黎曼曲面之间的光滑映射，pEM，定义切空间T,M,Tf(p)N之间的线性映射Φ*p如下：Φ*p: TpM -→ Tf(p)NVp-Φ*p(Vp),其中，切向量Φ*p(Vp)eTf(p)N定义为Φ*p(Vp)(g) = Vp(g og), V g e C(f(p)我们称Φ*p为Φ在p处的切映射或微分.切映射具有以下性质：
§2.2 Poincar´e 引理 25 (1) 我们如下定义两个切向量 B Bxα |p, B Byα |p: B Bxα |ppfq “ B Bx ˇ ˇ 0 pf ˝ φ ´1 α q, @ f P C 8ppq, B Byα |ppfq “ B By ˇ ˇ 0 pf ˝ φ ´1 α q, @ f P C 8ppq. 按照定义, B Bxα |ppxαq “ 1, B Bxα |ppyαq “ 0; B Byα |ppxαq “ 0, B Byα |ppyαq “ 1. 因此, 向量 B Bxα |p, B Byα |p 线性无关. (2) 如果 B Bxα |ppfq “ 0, B Byα |ppfq “ 0, 则 Vppfq “ 0, @ Vp P TpM. 事实上, 任给 f P C 8ppq, 有 f ˝ φ ´1 α pzαq ´ f ˝ φ ´1 α p0q “ ż 1 0 r d dtf ˝ φ ´1 α ptzαqsdt “ ż 1 0 rxαpf ˝ φ ´1 α qxptzαq ` yαpf ˝ φ ´1 α qyptzαqsdt “ xαh1 ` yαh2. h1, h2 仍为 p 附近光滑函数. 将条件 B Bxα |ppfq “ 0, B Byα |ppfq “ 0 代入上式得 h1ppq “ 0, h2ppq “ 0. 从而按照切向量的定义易见, p 处任意切向量作用在 f 亦为零. (3) 任给 f P C 8ppq, 令 h “ f ´xα B Bxα |ppfq´yα B Byα |ppfq, 则由 (2) 知 Vpphq “ 0, @ Vp P TpM. 从而 Vppfq “ Vppxαq B Bxα |ppfq ` Vppyαq B Byα |ppfq. 这说明, 作为切向量, Vp “ Vppxαq B Bxα |p`Vppyαq B Byα |p. 即, TpM 由 t B Bxα |p, B Byα |pu 张成. 由以上定义可以看出, 对于复平面中的区域而言, 通过使用标准坐标, 区域内 任何一点的切空间都可以和 R 2 自然地等同起来. 有了曲面的线性化, 我们来考虑映射的线性化. 设 ϕ : M Ñ N 为黎曼曲面之 间的光滑映射, p P M, 定义切空间 TpM, TfppqN 之间的线性映射 ϕ˚p 如下: ϕ˚p : TpM Ñ TfppqN Vp ÞÑ ϕ˚ppVpq, 其中, 切向量 ϕ˚ppVpq P TfppqN 定义为 ϕ˚ppVpqpgq “ Vppg ˝ ϕq, @ g P C 8pfppqq. 我们称 ϕ˚p 为 ϕ 在 p 处的切映射或微分. 切映射具有以下性质:
26第二章单值化定理.如果：M→N，：N-→S分别为黎曼曲面之间的光滑映射，则(00)*p=*(p)0中*p·如果za为p附近复坐标，ws为f(p）附近复坐标，则切映射Φ*p有如下矩阵表示：(l)-(")(aaglp中*p((alp)(o-lp)(uyy)其中u+-I是在两个局部坐标下的局部表示，偏导数在z(p)处计算·从上一条性质我们看到，如果为全纯映射，由Cauchy-Riemann方程知其切映射要么为零，要么为线性同构，设M是黎曼曲面，定义集合TM=UT,M以及映射（投影）元：TM→MPEM为(Vp)=p,VVpeT,M.TM上有自然的拓扑，我们称TM为M的切丛（关于丛的更多讨论参见第三章）.设V：U→TM为光滑映射，如果V满足条件V(p)eT,MVpeU，则称其为U上的(光滑)切向量场.特别地，如果U。为坐标邻域，z=。+V-Iya为坐标函数，则有U上的向量场量，最：aa:U&→Mdrayaa.aaa一(P) =(p) =lp,VpeUa=ralp,ayaOradya不难看出，U。上的切向量场均可写为下面的形式：aV=a·+b.dradya其中a,b为U上的光滑函数.下面我们考虑上述构造的对偶形式.仍设M为黎曼曲面，pEM.记T*M为切空间的对偶空间，称为余切空间，余切空间中的元素称为余切向量。如果za=+V-Iya是p附近的局部坐标,则TM有一组基(daalp,dyalp，它们是（是，的对偶基：aadralp(araVa,beR,+6=Q.Oyaaa+6-Va,beR.dyalp(a)=6.aaOya与切丛从完全类似，可以定义余切丛TM=M，以及余切向量场w:U一T*M.余切向量场又称为1次微分形式.和切向量场类似，在局部坐标邻域U上有余切向量场daa，dya，并且Ua上任何余切向量场均可表为a·daa+b·dya的形
26 第二章 单值化定理 • 如果 ϕ : M Ñ N, ψ : N Ñ S 分别为黎曼曲面之间的光滑映射, 则 pψ ˝ ϕq˚p “ ψ˚ϕppq ˝ ϕ˚p. • 如果 zα 为 p 附近复坐标, wβ 为 fppq 附近复坐标, 则切映射 ϕ˚p 有如下矩阵 表示: ϕ˚p ˜ B Bxα |p B Byα |p ¸ “ ˜ ux vx uy vy ¸ ˜ B Bxβ |p B Byβ |p ¸ , 其中 u ` ? ´1 v 是 ϕ 在两个局部坐标下的局部表示, 偏导数在 zαppq 处计算. • 从上一条性质我们看到, 如果 ϕ 为全纯映射, 由 Cauchy-Riemann 方程知其切 映射要么为零, 要么为线性同构. 设 M 是黎曼曲面, 定义集合 TM “ Ť pPM TpM 以及映射 (投影) π : TM Ñ M 为 πpVpq “ p, @ Vp P TpM. TM 上有自然的拓扑, 我们称 TM 为 M 的切丛 (关 于丛的更多讨论参见第三章). 设 V : U Ñ TM 为光滑映射, 如果 V 满足条件 V ppq P TpM @ p P U, 则称其为 U 上的 (光滑)切向量场. 特别地, 如果 Uα 为坐标 邻域, zα “ xα ` ? ´1 yα 为坐标函数, 则有 Uα 上的向量场 B Bxα , B Byα : B Bxα , B Byα : Uα Ñ M B Bxα ppq “ B Bxα |p, B Byα ppq “ B Byα |p, @ p P Uα. 不难看出, Uα 上的切向量场均可写为下面的形式: V “ a ¨ B Bxα ` b ¨ B Byα , 其中 a, b 为 Uα 上的光滑函数. 下面我们考虑上述构造的对偶形式. 仍设 M 为黎曼曲面, p P M. 记 T ˚ p M 为切 空间的对偶空间, 称为余切空间, 余切空间中的元素称为余切向量. 如果 zα “ xα ` ? ´1 yα 是 p 附近的局部坐标, 则 T ˚ p M 有一组基 tdxα|p, dyα|pu, 它们是 t B Bxα , B Byα u 的对偶基: dxα|ppa B Bxα ` b B Byα q “ a, @ a, b P R, dyα|ppa B Bxα ` b B Byα q “ b, @ a, b P R. 与切丛完全类似, 可以定义余切丛 T ˚M “ Y pPM T ˚ p M, 以及余切向量场 ω : U Ñ T ˚M. 余切向量场又称为 1 次微分形式. 和切向量场类似, 在局部坐标邻域 Uα 上 有余切向量场 dxα, dyα, 并且 Uα 上任何余切向量场均可表为 a ¨ dxα ` b ¨ dyα 的形