概念 1.微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数或微分的 方程，称为微分方程。 若微分方程中，未知函数为一元函数，这种方程称 为常微分方程。 若微分方程中，未知函数为多元函数，则称这种方 程为偏微分方程。 本章只介绍常微分方程，上两例尖-2x d's dx =g皆为常微 分方程，为简便，以后称常微分方程为微分方程或方程
8 二、概念 1．微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数或微分的 方程，称为微分方程。 若微分方程中，未知函数为一元函数，这种方程称 为常微分方程。 若微分方程中，未知函数为多元函数，则称这种方 程为偏微分方程。 本章只介绍常微分方程，上两例 2 d y x d x = , 2 2 d s g d t = 皆为常微 分方程，为简便，以后称常微分方程为微分方程或方程
2. 微分方程的阶 微分方程中，未知函数的导数或微分的最高阶 数，称为微分方程的阶。 少=2x为一阶微分方程 dx d2s 2=8为二阶微分方得 一阶微分方程，记为：F(x,y,y)=0 二阶微分方程，记为：F(x,y,y',y")=0 ”阶微分方程，记为：F(x,yy,…,y)=0 9
9 2．微分方程的阶 微分方程中，未知函数的导数或微分的最高阶 数，称为微分方程的阶。 2 dy x dx = 为一阶微分方程 2 2 d s g dt = 为二阶微分方程 一阶微分方程，记为：F x y y ( , , ) 0 = 二阶微分方程，记为：F x y y y ( , , , ) 0 = n阶微分方程，记为： ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y =
3.微分方程的解 若把某函数及其导数代入微分方程，使该方程成为恒 等式，则称这个函数为该微分方程的解。 由例1，y=2+c,y=2+1,y=2皆为=2x的解 dx h例2，s8r+e以+e,=方r+c,5=5+c 8以皆为方=8的解。 10
10 3．微分方程的解 若把某函数及其导数代入微分方程，使该方程成为恒 等式，则称这个函数为该微分方程的解。 由例 1， 2 y x c = + , 2 y x = +1, 2 y x = 皆为 2 dy x dx = 的解 由例 2， 2 1 2 1 2 s gt c t c = + + , 2 1 1 2 s gt c t = + , 1 2 2 s gt c = + , 1 2 2 s gt = 皆为方程 2 2 d s g dt = 的解
(1)通解 含有独立的任意常数，常数的个数与微方程的阶数 相同的解，则称这种解为微分方程的通解。 例1，y=x2+c为少=2x的通解： dx y=x2+1,y=x2都不是通解。 创2亏46号=g份道： s=282+c4,s=8r+c,s=28不是通解
11 （1）通解 含有独立的任意常数，常数的个数与微方程的阶数 相同的解，则称这种解为微分方程的通解。 例 1， 2 y x c = + 为 2 dy x dx = 的通解； 2 y x = +1， 2 y x = 都不是通解。 例 2， 2 1 2 1 2 s gt c t c = + + 为 2 2 d s g dt = 的通解； 2 1 1 2 s gt c t = + , 1 2 2 s gt c = + , 1 2 2 s gt = 不是通解
(2)特解、初始条件 在通解中，利用已知条件，确定出任意常数的数值， 从而得到的解，称为微分方程的特解，已知条件，称为 微分方程的初始条件。 在例1中，微分方程少=2x,初始条件=2， dx 特解为y=x2+1。 在例2，微分方种-5，初始条=0 s10=%=0 12
12 （2）特解、初始条件 在通解中，利用已知条件，确定出任意常数的数值， 从而得到的解，称为微分方程的特解，已知条件，称为 微分方程的初始条件。 在例 1 中，微分方程 2 dy x dx = ，初始条件 1 2 x y = = ， 特解为 2 y x = +1。 在例 2 中，微分方程 2 2 d s g dt = ,初始条件 0 0 0 0 0 0 t t s s s v = = = = = =