1+j2n+12例3级数是否收敛？nn=11 + j2n+188811+(-1)"i1Z+iZ(-1)"lZ之解nnnn=i hn=1n=1n=180Z(-1)"-收敛,Z!发散,因为级数nn=i nn=l故原级数仍发散 lim z,= 0,定理4.3级数Zz收敛的必要条件是其中zn=xn+y
例3 1 1 2 1 级数 是否收敛？ = + + n n n i 故原级数仍发散. , 1 1 因 为级 数 发 散 n= n ( ) 收敛, = − 1 1 1 n n n = = 1 1 n n = + − 1 1 ( 1) n n n 解 i = = + + − = + 1 1 2 1 1 1 ( 1) n n n n n i n i 定理4.3级数 收敛的必要条件是 n n n 其中z = x + y
证明因为级数Zz，收敛的充分必要条件是+00Zx,与ZJy都收敛，再由实级数收敛的必要条件是nn=1limx,=0,limy,=0得证.n→X定理4.4若级数2=l收敛，则级数之也收敛若级数ZIzl收敛，则称Zz绝对收敛.若级数2收敛，21发散，则称Z为条件收敛。福
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是 都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是 定理4.4若级数 收敛， 则级数 也收敛. n=1 n z + n=1 n z 为条件收敛。 若级数 收敛, 则称 绝对收敛.若级数 收敛, 发散，则称
8ZZa,与定理：,α,绝对收敛b.绝对收敛介.n=1n=1n=1
: 1 1 1 n n n n n n a b = = = 定理 绝对收敛 与 绝对收敛
8(8i)"Z是否收敛，若收敛例4判断级数n!n=1是绝对收敛？还是条件收敛？解：因为8n(8i)"n!n!所以由正项级数的比值判别法知8n928收敛，故原级数收敛,且为绝对收敛。n=i h!
是绝对收敛？还是条件收 敛? 是否收敛，若收敛， ! (8i) 判断级数 1 n= n n 例4 , ! 8 1 收敛 n= n n 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 所以由正项级数的比值判别法知: , ! ! ( ) n n n n 8i 8 = 解：因为
8(-1)"Z例5 判断级数i是否收敛2"nn=l若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛(-1)122二解因为也收敛，收敛;12"nn=1n=1故原级数收敛8(-1)"但之为条件收敛，nn=1所以原级数条件收敛
故原级数收敛. , ( 1) 1 但 为条件收敛 = − n n n 所以原级数条件收敛. . ] ( ) [ 若收敛，是绝对收敛 ， 还是条件收敛 判断级数 是否收敛， = + − 1 2 1 1 n n n i n 例5 ; ( 1) 1 因为 收敛 = − n n n , 2 1 1 也收敛 n= 解 n