试卷七参考答案一、判断题（正确的打“/”，错误的打“×”，每题2分，共20分）1、（V）；2、（V))；3、（V);4、（V);5、（X×);6、(×):7、（V): 8、（V): 9(×): 10、(×）.二、填空题（每空2分，共20分）2常数：4532阶；0.9、diff10、Plot.6、1；7、2元(e-1)；8、al0三、求解下列各题（每题6分，共30分）解：Ln(3-i/3)=n|3-i/+i [arg(3-i3)+2k元]---2分元1、 =ln2/+i(+2k)--4分6= In2V3+i (12k+1) )元）=0，±1±2，*.5分6sin?z2、解：令f(=)=在[2|=2内，2(z+1)函数f(=)有两个奇点≥=0与z=-1，-1分3分z=0为可去奇点，Res[f(2),0]=0，z=-1为一阶极点，Res[f(=)，-1]=lim(z+1)f(-)sinz= sin?1,-5分22原式=2元i(Res[f(z)0]+Res[f(2),-1)=2元isin?1-6分113、解：因为(-)=-1分(-1(-2)"-22-1即三在圆<1内，因<1<2,3分111有():7-1(z - 1)(z - 2)7-2-6分2/1-1
1 试卷七 参考答案 一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每题 2 分，共 20 分） 1、（√）; 2、（√））；3、（√）；4、（√）；5、（×）； 6、（×）；7、（√）；8、（√）；9（×）；10、（×）. 二、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1 、 y ； 2 、 常 数 ； 3 、 − n ； 4 、 2 阶 ； 5 、 0 ； 6、 1 ；7、2i(e −1) ；8、 a F a 1 ；9、diff ；10、 Plot . 三 、求解下列各题（每题 6 分，共 30 分） 1、 (3 3) ln 3 3 [arg(3 3) 2 ] 2 ln 2 3 ( 2 ) 4 6 (12 1) ln 2 3 ( ) 0, 1, 2, .5 6 Ln i i i i k i k k i k − = − + − + − − − − − − − = + + − − − − − − − + = + = − − − − − − 解： 分 分 分 2、解：令 2 2 sin ( ) ( 1) z f z z z = + ，在 | z | = 2 内， 函数 f (z) 有两个奇点 z = 0 与 z =−1，-1 分 z = 0 为可去奇点，Res[ f (z), 0] = 0，-3 分 z =−1 为一阶极点， 1 Res [ ( ), 1] lim ( 1) ( ) z f z z f z → − = + 2 2 2 1 sin sin 1 z z z =− = = ，-5 分 原式 2 = + − = 2 (Res [ ( ), 0] Res [ ( ), 1]) 2 sin 1 i f z f z i -6 分 3、解：因为 ( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 2 1 − − − = − − = z z z z f z -1 分 在圆 z 1 内，因 z 1 2, 即 1 3分 2 − − − − − z ( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 2 1 − − − = − − = z z z z 有f z 6分 2 1 1 2 2 1 1 1 1 0 1 − − − − − = − − − − = + = + n n n z z z
4、解：由于z=0,2，-5是f(=)的一阶极点，有11-2分Res[f(-),0] = lim zf(=) = lim100 (= -2)(=+ 5)114分Res[.f(=),2]= lim(=- 2)f(=) = lim14→2 2(z + 5)11-6分Res[(=),-5] = lim (= +5)f(z) = lim)359-5 2(2 - 2)5、-2分解：令z=rei°，则r<1,0<0<元-2 =r2e2io =pe'n,4分p=r2 <1, 0<@=20<2元故w=z?将上半单位圆域映射为|wk1且沿0到1的半径有割痕个V6分四、综合题（每题5分，共10分）1、解：已知f(2)是复平面上的解析函数，则u(x,)=x+ay,v(x,J)=x+by在平面上满足C一R方程，即：-2分ux=yy,u,=-故1=b,a=-1对Vx,y成立，-3分= f(-)=x-y+(x+y)i5分f'(2)=u, +iv =1+i2、解：对方程两边取拉式变换，利用线性性质和微分性质，并代入初值得s2Y(s)-2sY(s)+Y(s)=-2分(Y(s)= L(y(t)), -5-1'解得2
2 4、解：由于 z = − 0, 2, 5 是 f (z) 的一阶极点，有 ( ) ( )( ) 10 1 2 5 1 Res[ ,0] lim ( ) lim 0 0 = − − + = = → → z z f z zf z z z -2 分 ( ) ( ) 14 1 5 1 Res[ ,2] lim ( 2) ( ) lim 2 2 = + = − = → → z z f z z f z z z -4 分 ( ) ( ) 35 1 2 1 Res[ , 5] lim ( 5) ( ) lim 5 5 = − − = + = →− →− z z f z z f z z z -6 分 5、 解：令 i z = re ，则 r 1, 0 -2 分 i i z = r e = e 2 2 2 ， 1, 0 2 2 2 = r = -4 分 故 2 w = z 将上半单位圆域映射为 | w | 1 且沿 0 到 1 的半径有割痕. - 6 分 四、综合题（每 题 5 分， 共 10 分） 1、解：已知 f (z) 是复平面上的解析函数，则 u x y x ay v x y x by ( , ) , ( , ) = + = + 在平 面上满足 C—R 方程，即： x y y x u = v , u = −v -2 分 故 1 , 1 = = − b a 对 x, y 成立， -3 分 = − + + f z x y x y i ( ) ( ) ( ) 1 x x f z u i v i = + = + -5 分 2、解：对方程两边取拉式变换，利用线性性质和微分性质，并代入初值得 , ( ( ) ( ( )), 1 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 Y s L y t s s Y s sY s Y s = − − + = -2 分 解得 -1 1 x y 2 w = z 1 -1 u v -i i
-3分Y(s):(s-1)3根据留数求积分的方法，有2e5分y(t)= L-[Y(s)]= Re(s-1)32121五、求下列函数的积分变换（每题4分，共8分）1、解: F(o)=f(e-io'dt=e-jor sin3tdt=["e-jo (e13t -e-13" t-2分e-j(o-3) -e-(o+3) lt["[e(-) - j(-α-3 t-3分= - j元[8(3 - 0)-8(-0 -3)]4分= j元[8(0 + 3)- 8(0 - 3)]2、解：0由于-[1]=8(0),-2分根据拉氏逆变换的线性性质得L- [F(s)]=L-=8(t) +e2t-4分2六、实验题（每题3分，共12分）-1分1、解syms z;-2分f=(z~2)*exp(z) / (cos (z)) ;-3分limit(f,z,元)2、解-3分[R, P, K] = residue([1, 5, - 3],[1,]]3、解-1分symstwf=2*exp(-t2)*cos(3*t);g=5*exp(-t*2)*sin(2*t);-2分F=simple(fourier(f))-3分G=simple(fourier(g))-1分4、解symstsa;F=(s~2-a~2)/(s~2+a2)2;-2分f=ilaplace(F)-3分3
3 3 ( 1) 1 ( ) − = s Y s , -3 分 根据留数求积分的方法，有 . 2! 1 ( ) 2! 1 ,1 ( 1) ( ) [ ( )] Re 2 1 3 1 t s st st e t e s e y t L Y s s = = − = = = − -5 分 五、求下列函数的积分变换（每题 4 分，共 8 分） 1、解： F f (t)e dt e tdt j t j t + − − − + − ( ) = = sin 3 e (e e )dt j j t j t j t + − − − = − 3 3 2 1 -2 分 ( ) ( ) e e dt j j t j t + − − − − + = [ − ] 2 1 3 3 ( ) ( ) [ (3 ) (- 3)] [ ] 2 3 3 = − − − − = − − + − − − − j e e dt j j t j t -3 分 = j[ ( + 3) − ( − 3)] -4 分 2、 解: 由于 ℒ −1 [1]= (t) , ℒ −1 t e s 2 2 1 = − -2 分 根据拉氏逆变换的线性性质得 ℒ −1 [F(s)] = ℒ −1 − + 2 1 1 s = ( ) . 2t t + e -4 分 六、实验题（每题 3 分，共 12 分） 1、解 syms z; -1 分 f=(z^2)*exp(z)/(cos(z)); -2 分 limit(f,z, ) -3 分 2、解 [R,P,K] = residue([1, 5, − 3],[1,1]) -3 分 3、解 syms t w -1 分 f=2*exp(-t^2)*cos(3*t); g=5*exp(-t^2)*sin(2*t); -2 分 F=simple(fourier(f)) G=simple(fourier(g)) -3 分 4、解 syms t s a ; -1 分 F=(s^2- a ^2)/(s^2+ a ^2)^2; -2 分 f=ilaplace(F) -3 分