84.2复变函数项级数(Seriesoffunctionof complexvariable)复变函数项级数幂级数二
§4.2 复变函数项级数 一、复变函数项级数 二、幂级数 (Series of function of complex variable)
复变函数项级数设复变函数项级数(4.2)fi(z)+f(z)+fs(z)+... +f.(z)+...的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函数f(z),对于D内的每一点z,级数（4.2）均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:f(2)-Zf,(2)n=l
设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+.+fn(z)+. (4.2) 的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函 数f(z),对于D内的每一点z, 级数（4.2）均收敛于 f(z), 则称f(z)为级数(4.2)的和函数, 记为: 一、复变函数项级数 ( ) ( ) = = n 1 n f z f z
幂级数形如：Zc,(z-a)" =c, +c(z-a)+c,(z-a) +...(4.3)n=0的复函数项级数称为幂级数,其中a,Co,C1,C2，"，都是复常数以上幂级数还可以写成如下形式,-++,+,.n=0
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1, c2 ,., 都是复常数. 二、 幂级数 形如： 以上幂级数还可以写成如下形式 = + + ++ + = n n n n n c z c c z c z c z 2 0 1 2 0
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3)在某点z,(+a)收敛,则它必在圆K:z-a<z-al(即以a为圆心圆周通过z,的圆内绝对收敛Za
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1 (≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1 -a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛. a 1 z •
证明设z是所述圆内任意点.因为Ec.(z-a)"n=01收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使Ic,(z -a)" < M (n=0,1,2,...),07Ic,(z-a)" Ilc,(zi -a)"(“n<Mzi-az-a72z-aZ因为z-a<z-al,故级数M收敛n=1P→c(z-a)"在圆K内绝对收敛n=0
收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使 (n=0,1,2,.), 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | | n n n n n n z a z a c z a c z a M z a z a − − − = − − − 因为|z-a|<|z1-a|, 故级数 收敛 证明 设z是所述圆内任意点.因为 ( 1 ) 0 n n n c z a = − 0 ( )n n n c z a = − 在圆K内绝对收敛