第六章定积分的应用课堂练习计算抛物线y2=2x与直线y=×-4所围图形的面积在例2中如果选取x为积分变量则结果如何？U答案当xE[0,2]时,2=2x(8, 4)面积元素dA=（V2x-V-2x)dx，x当x E[2,8]时,(2, -2)面积元素dA=[V2x-(x-4)]dx(V2x-V-2x)dx +/ [V2x-(x-4)]dx =A=：结论：积分变量选取恰当可使计算简便第二节定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 课堂练习 计算抛物线y 2 = 2x与直线y = x − 4所围图形的面积. 在例2中,如果选取x为积分变量,则结果如何？ 答案 当x ∈ [0,2]时, 当x ∈ [2,8]时, = ⋯
第六章定积分的应用t212例3求椭圆=1所围图形的面积a2b2a解利用对称性，有A=4A1：A=4A1=4ydx利用圆的参数方程x = acost(0≤t≤2π)y=bsintOxx+dxJa应用定积分换元法得T02sin?tdtA=4bsint.(-asint)dt=4abT021元当b时得圆面积公式=元ab=4ab.2:2第二节定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 例3 解 利用对称性, 有A = 4A1 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 ⋅ 1 2 = 4ab ⋅ π 2 = πab 当 ᵄ=b 时得圆面积公式
第六章定积分的应用2.极坐标情形设(0) E C[αβ] p(0)≥0， 求由曲线r = p(0)及射线=α，θ=β围成的曲边扇形的面积在区间[αβ]】上任取小区间[09+d0]=p(0)则对应该小区间上曲边扇形面积的de1[(近似值为dA=160所求曲边扇形的面积为xR1β?(0) dA =2a第二节定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 2. 极坐标情形 则对应该小区间上曲边扇形面积的 求由曲线 r = φ(θ) 及射线 θ = α, θ = β 围成的曲边扇形的面积. 设φ(θ) ∈ C[α,β] ,φ(θ) ≥ 0 , 在区间 [α,β] 上任取小区间 [θ,θ + dθ] 近似值为 所求曲边扇形的面积为
第六章定积分的应用例4计算阿基米德螺线p=a0（a>0）上相应于0从0变到2元的一段弧与极轴所围成的图形的面积c21解 A=(a )2 do2元a2 (A0a22元[19313p=ao246元3a第二节定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 计算阿基米德螺线ρ = aθ (a > 0) 上相应于θ从0变到2π的 一段弧与极轴所围成的图形的面积. 例4 解 = 4 3 π 3a 2
第六章定积分的应用计算心形线p=a(1+ cos)(a>0)所围图形的面积例5TT1解A=2a?(1 + cos 0)? do210T0（利用对称性4 cos4Q2de10p=a(1+cos)0令t=2r2H8a2cos4tdt02aA一0313元=8a2=2元a24:22第二节定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 (利用对称性 ) 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 例5 解 令t = θ 2 = 3 2 πa = 8a 2 2 ⋅