5.11诱导速度场例子3：如图一段直线涡丝AB，M旋涡强度为，其方向与x轴的正向一致。空间点M到涡丝的距R离为R，求涡丝在M点处的诱导C2/7HBNdi速度。解：在AB上任取一维元涡丝dl，由几何关系得到：-Rcota,dl=dx=Rcseαdα,r=Rsecx=RtgRcsea2代入旋涡诱导速度Biot-Savart公式：rTsinαα2dlVsinαdαcosα,+cosα,4元R4元R4元Jaα2
例子3：如图一段直线涡丝AB， 旋涡强度为Γ，其方向与x轴的 正向一致。空间点M到涡丝的距 离为R，求涡丝在M点处的诱导 速度。 解：在AB上任取一维元涡丝d l，由几何关系得到： 2 tg cot , cse , sec cse 2 2 x R R dl dx R d r R R 2 1 2 1 2 sin sin cos cos 44 4 L V dl d rR R 代入旋涡诱导速度Biot-Savart公式： 5.11 诱导速度场
5.11诱导速度场元M对于半无限长涡丝，有α，=2,α, =0,代入得到：VR4元 RC2/aiH对于无限长涡丝，有α,=0，α2=0，ABNdi代入得到：FL2元R对于无限长涡丝，在垂直于涡丝的任何平面内，诱导速度都是相同的，因此可以看作是二维点涡诱导二维流动，速度分布为：V.V. = 0,2元r这里r为场点到点涡的距离
对于半无限长涡丝，有 ， 代入得到： 4 V R 1 2 , 0 2 对于无限长涡丝，有 ， 代入得到： 1 2 0, 0 2 V R 对于无限长涡丝，在垂直于涡丝的任何平面内，诱导速度都是 相同的，因此可以看作是二维点涡诱导二维流动，速度分布为： 0 , 2 V V r r 这里 r为场点到点涡的距离。 5.11 诱导速度场
5.11诱导速度场点涡：若直线涡束的半径r一→>0，则垂直于该涡束的平面内的流动称为点涡或自由涡流，涡流中心称为涡点。除涡点以外，流场无旋和散度为零，因此有：rapad0,V/Ara0ar2元r2元ay1ay0.V.Inr0r a02元Or
点涡： 若直线涡束的半径 ，则垂直于该涡束的平面内的流 动称为点涡或自由涡流，涡流中心称为涡点。除涡点以外， 流场无旋和散度为零，因此有： 0 br 0, 2 r Γ V V r rr 2 1 0, Vr r V r r Γ ln 2 5.11 诱导速度场
5.11诱导速度场点涡流场的等势线为不同极角的径线，即Φ=常数；流线为不同半径的同心圆，即=常数，与点源(或点y=const汇)相反。点涡的强度T即是沿围绕点涡轴线上的环量。1/@=const当T>0时，环流为逆时针方向；「<0，环流为顺时针方向。由Stokes定理知，点涡的强度I取决于旋涡强度(涡通量)
点涡流场的等势线为不 同极角的径线，即 =常数； 流线为不同半径的同心圆， 即 ψ = 常数，与点源(或点 汇)相反。点涡的强度Γ即是 沿围绕点涡轴线上的环量。 当Γ＞ 0时，环流为逆时 针方向； Γ ＜ 0，环流为顺 时针方向。由Stokes定理知， 点涡的强度Γ 取决于旋涡强 度(涡通量)。 5.11 诱导速度场
5.11诱导速度场例子4：两点涡的初始位置如图所示，它们的旋涡强度为I和I2，试分析IM这两点涡的运动。(5272)解：如果把两个点涡作为整体看待，Mi(5t.m1)当Ii+2=0时，即旋涡强度相等，方向相反，两点涡只作整体平移运动，没有旋转和相对运动，反之，则两点涡存在旋转和相对运动。对于Mi点的运动，是由M点涡的诱导产生，由旋涡诱导Biot-Savart公式，得到：dE1dniI2 51 - 52I2 ni-n2UM,VM222元2元dtdt
例子4：两点涡的初始位置如图所示 ，它们的旋涡强度为Γ1和Γ2 ，试分析 这两点涡的运动。 解：如果把两个点涡作为整体看待， 当 Γ1 + Γ2 = 0 时，即旋涡强度相 等，方向相反，两点涡只作整体 平移运动，没有旋转和相对运动， 反之，则两点涡存在旋转和相对 运动。 1 1 1 21 2 1 21 2 2 2 , 2 2 M M d d u v dt r dt r 对于M1点的运动，是由M2点涡的诱导产生，由旋涡诱导BiotSavart公式，得到： 5.11 诱导速度场