第三次作业四、已知不可压缩流体平面流动的速度分布v=x2+2x-4y，y,=-2xy-2y。试确定流动：(1)是否满足连续性方程（2)是否有旋；（3)如存在速度势和流函数：则求之。解：+%=(2x+2)+(-2x-2)=0,故该流动满足连续性方程;(1)由于axdy(2)因为是平面流动，显然，旋转角速度分量0=0,=0而ovy_ovr)=1[-2y-(-4)]=2-y±00.=2(axov所以流动有旋；(3）因为流动有旋，所以不存在势函数；因为流速分量满足不可压缩流体平面流动的连续性方程，所以存在流函数业：ay/ax=-yy,ap/ay=V
第三次作业 2 2 4 , 2 2 : ; ; x y v x x y v xy y 1 23 四、已知不可压缩流体平面流动的速度分布 。试 确定流动 是否满足连续性方程 是否有旋 如存在速度势和流函数， 则求之。 解： 1 (2 2) ( 2 2) 0, ; x y v v x x x y 由于 故该流动满足连续性方程 2因为是平面流动，显然，旋转角速度分量 0 x y 而 1 1 ( ) [ 2 ( 4)] 2 0 2 2 y x z v v y y x y 所以流动有旋; 3 ; : 因为流动有旋，所以不存在势函数 因为流速分量满足不可压缩流体平面流动的连续性方程，所以存在流函数 , y x x v yv
第三次作业1)待定函数法求流函数y2)积分路径无关法求流函数业dy=-y,dx+vdyop/oy=V=x?+2x-4yy=J-y,dx+vdy对y积分得y = J(x + 2x-4y)dy根据积分与路径无关，选择积分(1)=(x2 +2x)y-2y? + f(x)路径L:(0,0)->(x,0)->(x,y),则因为是偏导数对的积分，因此积分常数Ao-ydx+dyV=应是自变量x的函数f(x)，即待定函数。（00)而业又满足[) -(-2xy-2y)dx/ax=-y+(x2 +2x-4y)dy所以由式(1)-(-2x·0-2.0)dxo /ox =(2x +2)y+ f(x) =-(-2x - 2)y(0.0f(x)=o, f(x)=const(x2+2x-4y)dyx2y+2xy-2y2将解得的待定函数代人式(1)，略去常数，得y=xy+2xy-2y2
第三次作业 1)待定函数法求流函数 对y积分得 2 2 4 x yv x x y ( ) y x fx 因为是偏导数对 的积分，因此积分常数 应是自变量 的函数 ，即待定函数。 2 2 2 ( 2 4) ( 2 ) 2 ( ) (1) x x y dy x xy y f x 而又满足 所以由式1 y x v ' x (2 2) ( ) ( 2 2) x y fx x y ' f ( ) 0, ( ) x f x const 将解得的待定函数代人式 ，略去常数， 1 得 2 2 x y xy y 2 2 2)积分路径无关法求流函数 L x xy : (0,0) ( ,0) ( , ), 根据积分与路径无关，选择积分 路径 则 y x y x L d v dx v dy v dx v dy (,) (0,0) (,) (0,0) 2 ( ,0) (0,0) (,) 2 ( ,0) 2 2 ( 2 2 ) ( 2 4 ) ( 2 0 2 0) ( 2 4 ) 2 2 x y y x x y x x y x v dx v dy xy y dx x x y dy x dx x x y dy x y xy y
第三次作业六、不可压平面势流的速度势为β=0.04x3+axy2+by3;x,y的单位为m，势函数单位为m2/s。（1）求常数a，b(2）计算（0,0)和(3,4)两点的压力差，设流体密度为1300kg/m。实际流动应满足连续性条件，则应用解：: (1)求a, b。v+, = 0.24x+(2ax + 6by)axoy =0.12x + ay2ax=(0.24+2a)x+6by=0(a)00 = 2axy +3by?由于x、y是欧拉变数一独立自变量，ydy所以必有因为存在速度势，必无旋，所以应有(0.24 +2a = 0[a= -0.12av-OV1=0lb=0b=0Q:=axay验证：于是，将a、b值代入(a)式，得Q=2ay-2ay=0[v,= 0.12x2 - 0.12 y2(b)验证结果自然满足无旋条件，[y, = -0.24xy与常数a、b取值无关
第三次作业 3 23 2 3 0.04 ; , m m /s , (0, 0) (3, 4) 1300 k g/m x axy by xy a b 1 2 六、不可压平面势流的速度势为 的单位为 ，势函数单位为 。（ ）求常数 （ ）计算 和 两点的压力差，设流体密度为 。 解：(1)求 ， 。 a b 2 2 2 0.12 ( ) 2 3 x y v x ay x a v axy by y 因 为存在速度势，必无旋，所以应有 0 y x v v x y 验证： 220 ay ay a b 验 证 结果自然满足无旋条件， 与常数 、 取值无关。 实际流动应满足连续性条件，则应用 0.24 (2 6 ) (0.24 2 ) 6 0 x y v v x ax by x y a x by 由 于x y 、 是欧拉变数 独立自变量， — 所 以 必 有 0.24 2 0 0 a b 2 2 0.12 0.12 ( ) 0.24 x y vxy b v xy 于 是，将ab a 、 值代入 式，得 ( ) 0.12 0 a b
第三次作业(2)求压差。运用伯努利方程。根据式(g)平面势流研究的是理想不可压缩流体平面无旋流动，且流动恒定，所以理想流体恒定流pO动运动微分方程在无旋条件下的积分(z +=（Z2g2gpgpg(0,0)(3,4)12+p(g)9CP(3.4)P(0.0) + 0 = 0 +0+2gpg2gpgpg在流场内成立。解得根据式(b),9Ap= P(0.0) - P(3.4) =pg2g在(0,0)点：在(3,4)点：9=1300×9.807x[v= 0v=0.12×32-0.12×422×9.807=5850Pa(y,=0=-0.84m/s= 58.5 kPav,=-0.24×3×4y2=0=2.88m/sy2 = 9m2 /s2
第三次作业 (2)求压差。运用伯努利方程。 2 ( ) 2 p v zc g g g 平面势流研究的是理想不可压缩流体平面 无旋流动，且流动恒定，所以理想流体恒定流 动运动微分方程在无旋条件下的积分 2 0 0 0 x y v v v 在流场内成立。 2 2 2 22 0.12 3 0.12 4 0.84m/s 0.24 3 4 2.88m/s 9m /s x y v v v 根据式( ) b ， 根据式( ) g 2 2 (0,0) (3,4) (0,0) (3,4) ( )( ) 2 2 9 0 0 0 2 pv pv z z gg gg p p g gg 解得 (0,0) (3,4) 9 2 9 1300 9.807 2 9.807 5850 Pa 58.5 kPa pp p g 在(0,0)点： 在(3, 4)点： g
第三次作业七、已知不可压缩流体平面流动的速度失量的模为g=Vx?+y2，该流动的流线方程为y?-x2=C，其中c为常数。试求该流动的速度分布。解：令流函数模q=/2 +v, =/(2Ay) +(2Ax)y = A(y? - x)(a)= 2I A /x? + y2其中A为常数。已知则流线方程为q= /x2 + y2y= A(y2 - x)= c于是即2/A//x?+y2=/x2+y2,2|A=1A=±!从而有2ay=2AyV.代入式(b)，得ay(b)oy=2AxV.=y-)Vy诚ax=-xV=x
第三次作业 2 2 2 2 q xy yxc c 七 、 已 知 不 可 压 缩 流 体 平 面 流 动的速度矢量的模为 ，该流动的流线 方 程 为 ，其 中 为 常 数 。 试 求 该 流 动 的 速 度 分 布 。 解： 令 流函数 2 2 A y( ) ( ) x a 则 流线方程为 2 2 A( ) yx c 即 2 2 yxc 从 而 有 模 22 2 2 2 2 (2 ) (2 ) 2 | | x y q v v Ay Ax Ax y 已 知 2 2 q xy x x y y vy v y vx v x 或 代 入 式( ) b ，得 22 22 2 | | , 2 | | 1 Ax y x y A 其中 为常数。 A 2 ( ) 2 x y v Ay y b v Ax x 于是 1 2 A