《船舶流体力学》课程教学资源（讲稿）16 第5章 流体的旋涡运动 - 5.11 诱导速度场

复习·体积力有势、不可压流体的涡量动力学方程（涡量输运方程）：a2V.V)2= (Q.V)V+vV?2at·体积力有势、流体正压、理想流体的涡量动力学方程(Helmholtz方程）：aQ(V.v)2 = (Q.v)V-2(V.V)at

• 体积力有势、不可压流体的涡量动力学方程(涡量输运方程)：    2 t         Ω V ΩΩ V Ω • 体积力有势、流体正压、理想流体的涡量动力学方程 (Helmholtz方程)：      t         Ω V Ω Ω VΩ V 复 习

复习·散度场（源汇）所引起的诱导速度场为：I(5,n,s,t)r-dédnds3T·涡量场（旋涡）所引起的诱导速度场为：2(5,n,s,t)xrd:dnds3

• 散度场(源汇)所引起的诱导速度场为：   3 1 , 4 e H t ddd r        r V • 涡量场(旋涡)所引起的诱导速度场为：   3 1 , 4 v t ddd r         Ω r V 复 习

复习因此散度场（源汇）和涡量场（旋涡）所引起的总诱导速度为：V=V.+V2(5,n,s,t)xr dednds4 J[ H (5,n,5,1)-dedndc+r3A4元 J [H(5,n,s, + 2(5,n,s,1)xr]dsdnds这里(α,y,z)为场点，(,n,s)为积分动点。r=(x-5,y-n,z-s), r=lr|= (x-s)+(y-n)°+(z-s)

因此散度场(源汇)和涡量场(旋涡)所引起的总诱导速度为：        3 3 3 1 1 , , 4 4 1 1 , , 4 e v t H t ddd ddd r r H t t ddd r                                VV V r Ω r rΩ r       T 2 22 r r        xyz r x y z , ,     这里 (x, y, z )为场点， ( ξ, η, ς )为积分动点。 复 习

5.11诱导速度场例子2：求一个长为L，旋涡强度为「的涡丝在空间场的诱导速度分布。解：我们知道涡量集中在一根很细的涡管上，可以近似看成一条线，称为涡丝。在此细涡管取微元段dl，其截面积为S，则体积为Sdl。设涡量为，因此有：lim S2=,2dEdnds=2dt =2Sdl=IdlAS-0[P>8代入旋涡诱导速度公式，有：Tr2(5,n,s,t)×rTdlxrd二AS13414元I

例子2：求一个长为L，旋涡强度为Γ的涡丝在空间场的诱导速 度分布。 解：我们知道涡量集中在一根很细的涡管上，可 以近似看成一条线，称为涡丝。在此细涡管 取微元段dl，其截面积为S，则体积为Sdl。 设涡量为Ω，因此有： 0 lim , S S d d d d Sd d           Ω Ω Ω Ω Ωl l   3 3 1 , 4 4 v L t d ddd r r            Ω r l r V 代入旋涡诱导速度公式，有： Γ 5.11 诱导速度场

5.11诱导速度场这个式子与电磁学中的Biot-Savart公式形式上是一致的，可作水电比拟。在电磁学中，这个公式是用来确定通电导线在周围所感应的磁场强度分布；而在流体力学中，Biot-Savart公式是确定旋涡所诱导的周围空间上的速度场分布。如果设r与dl的夹角为a，则Biot-Savart公式变为：Isinαd lVdi4元L诱导速度的方向为d与r的叉乘方向M(x,y.2)

这个式子与电磁学中的Biot-Savart公式形式上是一致的， 可作水电比拟。在电磁学中，这个公式是用来确定通电导线在 周围所感应的磁场强度分布；而在流体力学中， Biot-Savart 公式是确定旋涡所诱导的周围空间上的速度场分布。如果设 r 与 d l 的夹角为α，则Biot-Savart公式变为： 2 sin 4 v L d l r     V  诱导速度的方向为d l与r的叉乘方向。 5.11 诱导速度场