命题44 对VA,B∈，M,下列结论成立： (a矩阵幂级数 E+A+2A2+十 Ak十 绝对收敛.记其为e或exp(A),称为矩阵指数函数； (b)如果A,B可交换，即AB=BA,则eA+B=eAeB; (c)ea可逆，且(ea)-1=e-a; (d对任意的可逆矩阵PeM有ePAP-1=PeAp-l 口年9·+二￥+生42刀风 张样：上将交通大学数学系第二十二讲常系数线性微分方程组：矩阵指数解与Jorda标准至
·K 44 È ∀A,B ∈ M, e(ÿ§·µ (a) › ò?Í E+A+ 1 2! A 2 +...+ 1 k! A k +..., ˝È¬Ò. PŸè e A ½ exp(A), °è› çͺÍ; (b) XJ A,B åÜ, = AB = BA, K e A+B = e Ae B; (c) e A å_, Ö e A −1 = e −A; (d) È?øå_› P ∈ M k e PAP−1 = Pe AP −1 . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{
证：(a)记a=Al.则 斗如 所以矩阵幂级数绝对一致收敛，从而工气∈化，因为上述不等 式也证明了矩阵幂级数的每个分量都绝对收敛 (b)直接计算得 B ABk-i ∞k ABk-i k! 其 () k! = 进(k-)！ (c)和(d)的证明容易得到，从略.证毕 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与ordan标准型
y: (a) P a = kAk. K ∞ ∑ k=0 A k k! ≤ ∞ ∑ k=0 kA kk k! ≤ ∞ ∑ k=0 a k k! < ∞. §±› ò?Í˝Èòó¬Ò, l ∞ ∑ k=0 A k k! ∈ M, œè˛„ÿ ™èy² › ò?Ízᩲ—˝È¬Ò. (b) ÜOé e A+B = ∞ ∑ k=0 (A+B) k k! = ∞ ∑ k=0 k ∑ i=0 k i ! A iB k−i k! = ∞ ∑ k=0 k ∑ i=0 A iB k−i i!(k −i)! = e A e B , Ÿ• k i ! = k! i!(k −i)! . (c) ⁄ (d) y²N¥, l—. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{