第五讲、常系数线性微分方程组 于江 空=y+回 0.1.13 其中A∈Rnxm,y∈Rm,feC(a,br。即fe)=(i(e,f2(e,…,jn(E)r, f(e)∈C(a,)。相应的齐次方程为 密=A 0.1140 (0.1.14)的通解为 y=r)c. 0.1.15) 关键问题是求出基解矩阵() 我们知道 皇=g→g=a,c-ms 类似，我们有0.1.14)的通解为 y=eArc,c-const vector 即基解矩阵为 ()=eA证 定义14.矩阵函数F:RnXn→Rnxngnxn。 注：自变量为矩阵，须在一个度量空间中变化。但Rx”是一个线性空间。 因此我们须赋以范数，即长度。则引如了极限、连续和微分的概念。 定义范数：I·:V一→R+A,B∈V,(V=Rnxn) (1)IA≥0，且A=0÷A=0
1 ˘!~XÍÇ5á©êß| uÙ dy dx = Ay + f(x) (0.1.13) Ÿ•A ∈ R n×n, y ∈ R n, f ∈ C(a, b) n"=f(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fn(x))T , fi(x) ∈ C(a, b)"ÉA‡gêßè dy dx = Ay. (0.1.14) (0.1.14)œ)è y = φ(x)c. (0.1.15) 'ÖØK¥¶—ƒ)› φ(x)? ·Ç dy dx = ay =⇒ y = ceax, c − const aqß·Çk(0.1.14)œ)è y = e Axc, c − const vector =ƒ)› è φ(x) = e Ax . ½¬14. › ºÍF : R n×n −→ R n×nR n×n" 5µgC˛è› ßL3òᛲòm•Cz"R n×n¥òáÇ5òm" œd·ÇLD±âÍß=›"K⁄X 4Å!ÎY⁄á©Vg" ½¬âÍ: k · k : V −→ R + A, B ∈ V ߣV = R n×n§ (1) kAk ≥ 0ßÖkA = 0k ⇔ A = 0;
(②YA,B∈V,IA+B≤IA+IBl- 另外， (③)AB≤AIB1。(相容性) 注：A≤A,k≥1。令A0=E。 ·A=Ia川=∑-lal或Al2=(∑2=1(a2/2. 范数·l和·2是等价的：31，c2≠0，今 ca2≤l≤-2, ·A的矩阵幂级数绝对收敛 E+A+AP++4+ 注：∑≤∑4<0. 收敛半径：im此兴-im贵- 定义A的指数函数：RnXn一→RnXn ·AB=BA,AB∈V,则eA+B=ee ·AeV,(eA)-l=e-A.即eAe-A=E. 。非奇异矩阵P∈V,ePAP-1=PeAp-1 定理15.重（口）-e2A为0.1.14的一个标准基本解矩阵。 证明：因为 在任意有限区间上一致收敛，故逐项求导4=∑。言A,即有
(2) ∀A, B ∈ V ßkA + Bk ≤ kAk + kBk. , ß (3) kABk ≤ kAkkBk"£ÉN5§ 5µkAkk ≤ kAk k , k ≥ 1"-A0 = E" • kAk1 = k(aij )k = Pn i,j=1 |aij | ½kAk2 = (Pn i,j=1(aij ) 2 ) 1/2" âÍk · k1⁄k · k2¥ dµ∃c1, c2 6= 0, −−3 c1k · k2 ≤ k · k1 ≤ k · k2. ♣ A› ò?Í˝È¬Ò E + A + 1 2 A 2 + · · · + 1 k! A k + · · · 5µ P kA kk k! ≤ P kAk k k! < ∞. ¬Ò媵lim kAk k k! (k+1)! kAkk+1 = lim k+1 kAk = ∞ ½¬AçͺÍ: R n×n −→ R n×n e A = X∞ k=0 Ak k! . ♣ • AB = BAßA, B ∈ V ßKe A+B = e Ae B. • ∀A ∈ V , (e A) −1 = e −A. =e Ae −A = E. • ö¤…› P ∈ V , e P AP −1 = P eAP −1 . ½n15. Φ(x) = e xAè(0.1.14)òáIOƒ )› " y²¶ œè X∞ k=1 x k (k − 1)!A k = A X∞ k=0 x k k! A k = AexA 3?økÅ´m˛òó¬ÒßÅë¶e xA = P∞ k=0 x k k! Akß=k d dxe xA = AexA
于是，2为解矩阵。又有(0)=E (川=(Oe5rA恤=1. 故④（工）为标准基本解矩阵。 ◆ ◆(0.1.13)的通解为 y田=(c+厂()(s)fs)ds ehe+daf(o)ds. 问题：求c2A? 解：记 -(8 于是，=2Ee2,其中 “-a+(（） (“(） 2.3利用，Jordan标准形求eA
u¥ße xAè)› "qkΦ(0) = E |Φ(x)| = |Φ(0)|e R x 0 trAdx = 1. Φ(x)èIOƒ )› " ♣ (0.1.13)œ)è y(x) = Φ(x)c + Z x x0 Φ(x)Φ(s) −1 f(s)ds = e xAc + Z x x0 e (x−s)Af(s)ds. ØKµ¶e xA? ~1. A = 1 1 0 1 , ¶e xA? )µP A = E + Z = 1 0 0 1 + 0 1 0 0 u¥ße xA = e xEe xZߟ• e xE = E + xE + x 2 2! E 2 + · · · = e x e x e xZ = E + xZ + x 2 2! Z 2 + · · · = E + x 0 1 0 0 = 1 x 0 1 =⇒ e xA = e x e x 1 x 0 1 = e x xex 0 e x . 2.3 |^JordanIO/¶e xA
A∈Rnxn,非奇异P∈Rnxn,A=PJP-l。其中 EE+Z+云2+…+ rn-1 1 x 易知 于是 A=ePJp-=Pep-1, →e2ip=Pe
∀A ∈ R n×n, ∃ ö¤…P ∈ R n×nß−−3 A = P JP −1"Ÿ• J = J1 J2 . . . Jm , Ji = λi 1 λi . . . . . . 1 λi ni×ni P Ji = λiE + Z = λi λi . . . λi + 0 1 0 . . . . . . 1 0 K e xJi = e λixE(E + Z + x 2 2! Z 2 + · · · + x ni−1 (ni − 1)!Z ni−1 ) = e λix 1 x x 2 2! · · · x ni−1 (ni−1)! 1 x x ni−2 (ni−2)! . . . . . . . . . x 1 ¥ e xJ = e xJ1 e xJ2 . . . e xJm . u¥ e xA = e xP JP −1 = P exJP −1 , =⇒ e xAP = P exJ
注：2AP也是基解矩阵。它的每一列都是0.1.14)的解。下面具体求出这n个 无关解的具体形式。 (一)A只有n个互不相同的单特征根x1,2,…,入。 易知A~A=diag(A1,A2,…,Xn)。即3可逆P,子A=PP-1。于是 (z)etAP=PetJ =P =(em,e22,…,em, 其中P=(1,2,…,m)。则(01.14有解e2,i=1,2…,n 由A=PAP-1知，为A的特征值入，的特征向量。或 设0.1.14)有形式解y()=e,代入01.1，的 Ae(A)=0(E-A)=0. 定理16.A有n个不同的特征向量，则 Φ()={e1c2,…,e2m} 为0.1.14的一个基解矩阵。 证明：显然，（工）是0.1.14的解矩阵。须证明(x川≠0。实际，(O)=P≠ 0 注：A的特征根、特征向量可能是复数、复向量。而由定义4为实阵。 若0.1.14)有复数解 y(a)=u()+(,()()为实函数 则y石=u)-i(e)也是0.1.14)的解
5µe xAP襃)› "ßzò—¥(0.1.14))"e°‰N¶—˘ná Ã')‰N/™" £ò§AêknápÿÉ”¸Aäλ1, λ2, · · · , λn" ¥A ∼ Λ = diag(λ1, λ2, · · · , λn)"=∃å_Pß−−3 A = PΛP −1"u¥ß Φ(x) = e xAP = P exJ = P e xλ1 e xλ2 . . . e xλn = (e xλ1 γ1, exλ2 γ2, · · · , exλn γn), Ÿ•P = (γ1, γ2, · · · , γn)"K(0.1.14)k)e xλi γi , i = 1, 2, · · · , n" dA = PΛP −1ßγièAAäλiAï˛"½ (0.1.14)k/™)y(x) = e xλγßì\(0.1.14)ß λexλγ = Aexλγ =⇒ e xλ(λE − A)γ = 0 =⇒ (λE − A)γ = 0. ½n16. Aknáÿ”Aï˛ßK Φ(x) = {e xλ1 γ1, exλ2 γ2, · · · , exλn γn} è(0.1.14)òáƒ)› " y²¶ w,ßΦ(x)¥(0.1.14))› "Ly²|Φ(x)| 6= 0"¢SßΦ(0) = |P| 6= 0" 5µAAä!Aï˛åU¥EÍ!Eï˛" d½¬e xAè¢ " e(0.1.14)kEÍ) y(x) = u(x) + iv(x), u(x), v(x)è¢ºÍ Ky(x) = u(x) − iv(x)è¥(0.1.14))